包含第一、二节

名词解析：

• 矩阵：由m×n个数排列成数表，记作A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix}，或者简记为A=(a_ij)_m×n或A=(a_ij)

• 方阵：矩阵m和n可相等可不相等，m=n时，称为n阶方阵

• [主]/反对角线：同行列式

• 零矩阵：所有元为0的矩阵，记作0

  • 元素全为0的是零矩阵，但不是所有的零矩阵都相等（非同型矩阵的两个零矩阵）

• 行/列矩阵/向量：行数m/列数n为1的时候，矩阵只有一行/列，又称为行/列向量

• 同型矩阵：行数m和列数n同时相等的两个矩阵

• 两个矩阵相等的条件：同型矩阵+对应元的值均相等

• 负矩阵：矩阵所有元取相反值

• 数乘：矩阵与数的乘积

  -A= \begin{pmatrix} -a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & -a_{22} & \cdots & -a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & -a_{nn} \\ \end{pmatrix}

• 实/复矩阵：元全部为实数的为实矩阵，有复数的为复矩阵

• 转置：同行列式，将行和列置换

  A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} \\ A^T= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix}

• 方阵的行列式：将方阵的元与同阶的行列式对应，得到的行列式称为方阵的行列式\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}

• [代数]余子式：方阵A的行列式\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}对应的[代数]余子式

• [非]奇异矩阵：方阵A的行列式\begin{vmatrix} A \end{vmatrix} ≠\mathbf{0}为非奇异矩阵，\begin{vmatrix} A \end{vmatrix} =\mathbf{0}为奇异矩阵

• 共轭矩阵：矩阵所有元的共轭复数\overline{A}=(\overline{a_{ij}})_{m×n}

• 以下为特殊矩阵

  • 对角矩阵：除了主对角线的其他元全部为0，记为

    Λ= \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix}

  • 反对角矩阵：对角矩阵的对角线改为反对角线，其他同

  • 数量矩阵：对角矩阵中对角线上的所有元相等

    \begin{aligned} Λ=& \begin{pmatrix} λ & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & λ & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & λ \\ \end{pmatrix} \\ =λ& \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix} \end{aligned}

  • 单位矩阵：数量矩阵的λ为1，记为E或者I

    E=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix}

基本运算

加法

计算方法：

同型矩阵A=(a_ij)_m×n、B=(b_ij)_m×n相加为同位的元相加（只有同型矩阵可加减）

规律：

与数字的加法规律相同

数乘

计算方法：

每个元乘以该数字

规律：

与数字的乘法规律相同

乘法

计算方法：

前一个矩阵的第i行和后一个矩阵的第j列各个元一一对应相乘（从上到下，从左到又进行匹配），计算的总和为结果的第i行j列元的数值

规律:

• 前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数应该相等，结果的行数为前一个矩阵，列数为后一个矩阵

• 与数字的乘法规律相似，但不满足乘法交换律！！！

转置

规律：

方阵与行列式

规律：

• 正常情况方阵A、B有A≠B，但总有\begin{vmatrix} AB \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} BA \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} \begin{vmatrix} B \end{vmatrix}

• 对于非方阵的矩阵A、B，正常情况\begin{vmatrix} AB \end{vmatrix} ≠ \begin{vmatrix} BA \end{vmatrix}

共轭

规律：

特殊矩阵

规律：

• 单位矩阵E可添放在任何矩阵前后A_{m×n}E_{n×n}=E_{m×m}A_{m×n}=A_{m×n}

• 设f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_mx^m，方阵A则有

  f(A)=a_0E+a_1A+a_2A^2+\cdots+a_mA^m

  • 此处的f(A)得到的值仍然是矩阵，称为方阵的A的m次多项式