TDMSTUDIOhttps://www.tedaimeng.cn特呆萌科技Halo v2.23.1zh-cnhttps://www.tedaimeng.cn/upload/logo-square.svgTDMSTUDIOhttps://www.tedaimeng.cnSat, 11 Apr 2026 10:17:22 GMT<![CDATA[一个atrust跳转的油猴插件]]>https://www.tedaimeng.cn/archives/c0fbb5c9-d374-468b-905b-b239b8481919

用DeepSeek辅助做了一个atrust的链接转换，默认是CQU的域名，但支持自定义域名。

使用方法：安装脚本插件（油猴或者Userscripts），打开以下链接安装即可：

/upload/atrust-tiaozhuan.user.js

访问任何网页时右下角会有一个小蓝点，点击后出现A字按钮菜单。

点击之后出现转换方法

对于一些外网无法访问的页面，受制于油猴加载方式，无法直接访问页面转换，此时可单独开启一个默认页面（例如搜索页面），之后选择“转换指定链接”就能跳转到正确网页。

]]>/archives/c0fbb5c9-d374-468b-905b-b239b8481919特呆萌的徒弟CQU校园网Sat, 13 Dec 2025 12:03:27 GMT<![CDATA[线代笔记第三章下：向量组的线性相关性及线性空间]]>https://www.tedaimeng.cn/archives/71f32ca8-225d-436e-affb-eac77556230d

名词解析

  • 向量正交：两个向量内积为0 (α,β)=0(\alpha,\beta)=0 （几何上垂直）

  • 正交向量组/矩阵：向量组内任意两个向量均正交

  • 标准正交向量组：所有向量均为单位向量的正交向量组

  • 八条运算规律：

(∀α,β,γ∈V ∀k,l∈R): α+β=β+α (α+β)+γ=α+(β+γ) α+0=α α+β=0 1⋅α=α k(lα)=(kl)α (k+l)α=kα+lα k(α+β)=kα+kβ, \begin{aligned} &(\forall \alpha,\beta,\gamma \in V\ \forall k,l \in \mathbb{R}): \\& \alpha+\beta=\beta+\alpha \\& (\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma) \\& \alpha+\boldsymbol{0}=\alpha \\& \alpha+\beta=\boldsymbol{0} \\& 1 \cdot \alpha=\alpha \\& k(l\alpha)=(kl)\alpha \\& (k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha \\& k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta, \\ \end{aligned}

  • 向量空间：多个同阶向量构成的非空集合 VV 加法满足封闭性 α,β∈V,α+β∈V\alpha,\beta \in V, \alpha+\beta \in V ，数乘满足封闭性 α∈V, ∀k∈R,kα∈V\alpha \in V,\ \forall k \in \mathbf{R},k\alpha \in V ，且满足八条运算规律（实际上只要判断加法数乘封闭就已经满足了八条运算规律）

  • 向量子空间：向量空间 VV 的非空子集 SS 也为向量空间，称 SS 为 VV 的子空间

  • 向量空间的基：向量空间V中取部分向量组成的线性无关向量组 a1,a2,⋯ ,ar a_1,a_2,\cdots,a_r 能线性表示V中任意向量，则称这个向量组为V的基，且向量个数r为V的维数，V是r维向量空间（可类比向量组的最大线性无关组，r是秩）

  • 向量的坐标：选一个包含向量 α\alpha 向量空间 VV ，选择该向量的一个基 α1,α2,…,αr \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r ，满足 α=x1α1+x2α2+⋯+xrαr \alpha = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \dots + x_r\alpha_r ，则称有序数组 (x1,x2,…,xr)T (x_1, x_2, \dots, x_r)^T 为 α\alpha 在基 α1,α2,…,αr \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r 的坐标

  • 基变换公式：同一向量空间的两个基，由一个基 α1,α2,…,αn \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n 乘以一个矩阵 PP 转换为另一个基 β1,β2,…,βn \beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n 的公式

{ β1=p11α1+p12α2+⋯+ p1n αn, β2=p21α1+p22α2+⋯+ p2n αn, ⋯ βn= pn1 α1+ pn2 α2+⋯+ pnn αn, 或(β1 β2 … βn)=(α1 α2 … αn)P \begin{cases} \beta_1 = p_{11}\alpha_1 + p_{12}\alpha_2 + \dots + p_{1n}\alpha_n, \\ \beta_2 = p_{21}\alpha_1 + p_{22}\alpha_2 + \dots + p_{2n}\alpha_n, \\ \quad \cdots \\ \beta_n = p_{n1}\alpha_1 + p_{n2}\alpha_2 + \dots + p_{nn}\alpha_n, \end{cases} \\或\\ (\beta_1\ \beta_2\ \dots\ \beta_n) = (\alpha_1\ \alpha_2\ \dots\ \alpha_n)P

  • 过渡矩阵：上条基变换的矩阵P，称为由基 α1,α2,…,αn \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n 到基 β1,β2,…,βn \beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n 的过度矩阵

P= ( p11 p12 … p1n p21 p22 … p2n ⋮ ⋮ ⋮ pn1 pn2 … pnn ) P = \begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} & \dots & p_{1n} \\ p_{21} & p_{22} & \dots & p_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ p_{n1} & p_{n2} & \dots & p_{nn} \end{pmatrix}

坐标变换公式：向量 α\alpha 由一个基 α1,α2,…,αn \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n 坐标 (x1,x2,…,xn)T (x_1, x_2, \dots, x_n)^T 乘以基变换的过渡矩阵 PP 转换为另一个基 β1,β2,…,βn \beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n 坐标 (y1,y2,…,yn)T (y_1, y_2, \dots, y_n)^T 的公式

P=(α1 α2 … αn)−1(β1 β2 … βn) ( x1 x2 ⋮ xn ) = P ( y1 y2 ⋮ yn ) ( y1 y2 ⋮ yn ) = P−1 ( x1 x2 ⋮ xn ) P = (\alpha_1\ \alpha_2\ \dots\ \alpha_n)^{-1}(\beta_1\ \beta_2\ \dots\ \beta_n) \\ \begin{aligned} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} =& P \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} =& P^{-1} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \end{aligned}

线性空间的单独列出

正交向量组

性质

  • 零向量与任何同维向量正交（不同维无法计算内积，不正交！）

  • 正交向量组一定线性无关

  • 正交矩阵的充要条件是行或列向量组是标准正交向量组

施密特标准正交化向量法

正交化

计算 β\beta ：

β1= α1 β2= α2− (α2,β1) (β1,β1) β1 β3= α3− (α3,β1) (β1,β1) β1− (α3,β2) (β2,β2) β2 ⋯ βm= αm− (αm,β1) (β1,β1) β1−⋯− (αm, βm−1 ) ( βm−1 , βm−1 ) βm−1 . \begin{aligned} \beta_1 =& \alpha_1 \\ \beta_2 =& \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1 \\ \beta_3 =& \alpha_3 - \frac{(\alpha_3, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1 - \frac{(\alpha_3, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)} \beta_2 \\ \cdots \\ \beta_m =& \alpha_m - \frac{(\alpha_m, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1 - \cdots - \frac{(\alpha_m, \beta_{m-1})}{(\beta_{m-1}, \beta_{m-1})} \beta_{m-1}. \end{aligned}

标准化

计算e：

e1= β1 ∥β1∥ , e2= β2 ∥β2∥ , ⋯ , em= βm ∥βm∥ \text e_1 = \frac{\beta_1}{\| \beta_1 \|},\ e_2 = \frac{\beta_2}{\| \beta_2 \|},\ \cdots,\ e_m = \frac{\beta_m}{\| \beta_m \|} \\

则向量组 e1,e2,⋯ ,em e_1,e_2,\cdots,e_m 为标准正交向量组且与原向量组 a1,a2,⋯ ,am a_1,a_2,\cdots,a_m 等价

向量空间的基与坐标

  • 零维向量空间没有基，只含零向量

  • 由于基线性无关，过渡矩阵为可逆矩阵

P=(α1 α2 … αn)−1(β1 β2 … βn) P−1=(β1 β2 … βn)−1(α1 α2 … αn) \begin{aligned} &P = (\alpha_1\ \alpha_2\ \dots\ \alpha_n)^{-1}(\beta_1\ \beta_2\ \dots\ \beta_n) \\ &P^{-1} = (\beta_1\ \beta_2\ \dots\ \beta_n)^{-1}(\alpha_1\ \alpha_2\ \dots\ \alpha_n) \end{aligned}

线性空间

线性空间表示的不局限于数字、矩阵、向量，是对前面的抽象

名词解析

  • 数域：一个包含0和1数集 KK ，具有封闭性：其中任意数字的和差积商（分母不为0）的结果仍然在 KK 中（类似向量空间）

  • 八条计算公理：（此处的零元素 θ\theta 不一定是数字0，可以是其他任意元素，只是说存在一个元素能保证下列的运算成立）

(设 α,β,γ,θ∈V,λ,μ∈R) (2) 加法公理 公理 1(交换律) α+β =β+α. 公理 2(结合律) (α+β)+γ =α+(β+γ). 公理 3(有零元) α+θ =α. 公理 4(有负元) α+(−α) =θ. (3) 数乘公理 公理 5(结合律) λ(μα) =(λμ)α. 公理 6(分配律) λ(α+β) =λα+λβ. 公理 7(分配律) (λ+μ)α =λα+μα. 公理 8(单位律) 1α =α. (设\ \alpha,\beta,\gamma,\theta \in V,\lambda,\mu \in \mathbf{R}) \\ \begin{aligned} &(2)\ 加法公理 \\ &公理\ 1(交换律)\quad &\alpha+\beta&=\beta+\alpha. \\ &公理\ 2(结合律)\quad &(\alpha+\beta)+\gamma&=\alpha+(\beta+\gamma). \\ &公理\ 3(有零元)\quad &\alpha+\boldsymbol{\theta}&=\alpha. \\ &公理\ 4(有负元)\quad &\alpha+(-\alpha)&=\boldsymbol{\theta}. \\ \\ &(3)\ 数乘公理 \\ &公理\ 5(结合律)\quad &\lambda(\mu \alpha)&=(\lambda \mu)\alpha. \\ &公理\ 6(分配律)\quad &\lambda(\alpha+\beta)&=\lambda \alpha+\lambda \beta. \\ &公理\ 7(分配律)\quad &(\lambda+\mu)\alpha&=\lambda \alpha+\mu \alpha. \\ &公理\ 8(单位律)\quad &1\alpha&=\alpha. \end{aligned}

  • 线性空间：非空集合 VV （不是数集！集合可以是任何元素）的加法和数乘封闭（类似向量空间的封闭），满足八条公理，称为数域 KK 的线性空间

  • 线性运算：满足八条公理的加法和数乘运算

  • 实/复线性空间：数域 KK 是实数域 RR 则 VV 为实线性空间，数域 KK 是复数域 CC 则 VV 为实线性空间

  • 狭义向量：有序数组

  • 广义向量：线性空间的元素

  • 矩阵空间：所有m×n的矩阵和上一章的加法数乘计算构成矩阵空间 Mmn M_{mn}

  • 线性空间的子空间： SS 是非空集合 VV 的非空子集，如果对于 VV 定义的加法数乘 SS 仍然成立并构成一个线性空间，称 SS 为 VV 的子空间

  • 线性空间 VV 的非空子集 SS 是 VV 的子空间的充要条件是 SS 加法数乘满足封闭性

  • 生成的子空间：线性空间 VV 的非空子集 SS 使用以下公式计算出的集合 L(S)L(S) ，为 VV 的子空间， L(S)L(S) 称为 SS 生成的子空间

    L(S)= {α= ∑i=1k λiαi∣α1,α2,…,αk∈S, λ1,λ2,…,λk∈R} L(S) = \left\{ \alpha = \sum_{i=1}^{k} \lambda_i \alpha_i \mid \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_k \in S,\ \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_k \in \mathbf{R} \right\}

  • 线性空间的交： V1∩V2={α∣α∈V1,α∈V2} V_1 \cap V_2 = \{ \boldsymbol{\alpha} \mid \boldsymbol{\alpha} \in V_1 , \boldsymbol{\alpha} \in V_2 \}

  • 线性空间的和： V1+V2={α1+α2∣α1∈V1, α2∈V2} V_1 + V_2 = \{ \boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 \mid \boldsymbol{\alpha}_1 \in V_1,\ \boldsymbol{\alpha}_2 \in V_2 \}

  • 线性相/无关：类似之前的定义，但是0换成零元素。对于n维向量组，如果不存在满足以下式子的系数，则线性无关；若存在，则线性相关。

λ1α1+λ2α2+⋯+λmαm=θ,(λi不全为0，θ为零元素) \lambda_1\boldsymbol{\alpha}_1 + \lambda_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + \lambda_m\boldsymbol{\alpha}_m = \boldsymbol{\theta},(\lambda_i不全为0，\theta为零元素)

内积/欧几里得空间/欧氏空间：线性空间 VV 的任意两个元素 α,β\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta} 一起对应一个唯一的实数 (α,β)(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}) ，满足以下公理， VV 称为欧几里得空间/欧氏空间， (α,β)(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}) 为内积

公理1（对称性）： (α,β)=(β,α) 公理2（可加性）： (α+β,γ)=(α,γ)+(β,γ), ∀γ∈V 公理3（齐次性）： (λα,β)=λ(α,β), λ∈R 公理4（非负性）： (αα)≥0, 当且仅当 α=θ 时，(α,α)=0 \begin{aligned} &\text{公理1（对称性）：} \ (\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}) = (\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\alpha}) \\ &\text{公理2（可加性）：} \ (\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}) = (\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\gamma}) + (\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}),\ \forall \boldsymbol{\gamma} \in V \\ &\text{公理3（齐次性）：} \ (\lambda\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}) = \lambda(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}),\ \lambda \in \mathbb{R} \\ &\text{公理4（非负性）：} \ (\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}) \geq 0,\ \text{当且仅当 } \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\theta} \text{ 时，} (\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\alpha}) = 0 \\ \end{aligned}

性质

  • 复数集 CC 、实数集 RR 、有理数集 QQ 是数域，整数集 ZZ 不是数域

]]>/archives/71f32ca8-225d-436e-affb-eac77556230d特呆萌的徒弟线代笔记Sun, 30 Nov 2025 14:23:36 GMT<![CDATA[线代笔记第三章上：向量组的线性相关性及线性空间]]>https://www.tedaimeng.cn/archives/2a137b09-ebfe-47f8-a80a-2ca37a226f91

名词解析

  • n维[列]向量：由n个数字有序排列形成有序数组\alpha = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}其中a_i为向量的[第i个]分量。向量为特殊的矩阵，列向量为列矩阵

  • n维行向量：同上，由单列排列改为单行

  • 实/复向量：全部为实数则为实向量，含有复数则为复向量

  • 零向量：各个分量为0的向量，为零向量，记作\mathbf0=(0,0,\cdots,0)^T

  • 负向量：同负矩阵-\boldsymbol{\alpha} = (-a_1,\ -a_2,\ \dots,\ -a_n)^T

  • 线性组合：任意实数有b=k_1a_1+k_2a_2+ \cdots + k_ma_m，则b为a_i的线性组合

  • n维单位向量：指定某位元为1，其他元为0\boldsymbol{e}_i = (0,\ 0,\ \dots,\ 1,\ \dots,\ 0)^T

  • 单位向量：长度\| \alpha \|=1的向量

  • 向量组：由多个同维向量组成的集合

  • 向量组线性运算：\lambda_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + \lambda_2 \boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + \lambda_m \boldsymbol{\alpha}_m

  • 向量组线性组合/线性表示：满足以下等式，称α是向量组的线性组合，α能由向量组线性表示

  • \boldsymbol{\alpha}=\lambda_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + \lambda_2 \boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + \lambda_m \boldsymbol{\alpha}_m

  • 线性表示系数：指上式的λ组合

  • 单位坐标向量组：由n个n维单位向量组成，每个向量互不相同

\boldsymbol{e}_1 = (1,\ 0,\ \dots,\ 0,\ \dots,\ 0)^T \\ \boldsymbol{e}_2 = (0,\ 1,\ \dots,\ 0,\ \dots,\ 0)^T \\ \cdots \\ \boldsymbol{e}_i = (0,\ 0,\ \dots,\ 1,\ \dots,\ 0)^T \\ \cdots \\ \boldsymbol{e}_n = (0,\ 0,\ \dots,\ 0,\ \dots,\ 1)^T \\

  • 线性相/无关：对于n维向量组，如果不存在满足以下式子的系数，则线性无关；若存在，则线性相关。

\lambda_1\boldsymbol{\alpha}_1 + \lambda_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + \lambda_m\boldsymbol{\alpha}_m = \boldsymbol{0},(\lambda_i不全为0)

向量组矩阵：按照排列顺序将各元依次排列为矩阵，称为矩阵的行/列向量组

\begin{aligned} \boldsymbol{\alpha}_j =& (a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{mj})^T\ (j=1,2,\dots,n) \\ A =& (\boldsymbol{\alpha}_1\ \boldsymbol{\alpha}_2\ \dots\ \boldsymbol{\alpha}_n) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} \\\\ \boldsymbol{\beta}_i =& (b_{i1}, b_{i2}, \dots, b_{in}) \space (i=1,2,\dots,n) \\ B =& \begin{pmatrix} \boldsymbol{\beta}_1 \\ \boldsymbol{\beta}_2 \\ \vdots \\ \boldsymbol{\beta}_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \dots & b_{mn} \end{pmatrix} \end{aligned}

  • 向量组等价：向量组A、B互相能由对方线性表示（但A、B的向量个数不一定相等）

  • 最大线性无关组：向量组T部分向量组成的线性无关向量组(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{r})能线性表示T中所有向量，则该子向量组为T的最大线性无关组（最大线性无关组不一定唯一）

  • 向量组的秩：向量组的最大线性无关组的向量个数

  • 行/列秩：行/列向量的秩

向量运算

线性运算

加减法、数乘：为向量的线性运算，与矩阵相同

\boldsymbol{\alpha} ± \boldsymbol{\beta} = (a_1 ± b_1,\ a_2 ± b_2,\ \dots,\ a_n ± b_n)^T \\ \lambda\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\alpha}\lambda = (\lambda a_1,\ \lambda a_2,\ \dots,\ \lambda a_n)^T \\

规律

  • 交换律：\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\alpha}

  • 结合律：(\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}) + \boldsymbol{\gamma} = \boldsymbol{\alpha} + (\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\gamma})

  • 零向量性质：

\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{\alpha} \\ \boldsymbol0 \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol0

  • 负向量性质：\boldsymbol{\alpha} + (-\boldsymbol{\alpha}) = \boldsymbol{0}

  • 数1的数乘：1 \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\alpha}

  • 结合律：\lambda (\mu \boldsymbol{\alpha}) = (\lambda \mu) \boldsymbol{\alpha}

  • 分配律：

(\lambda + \mu) \boldsymbol{\alpha} = \lambda \boldsymbol{\alpha} + \mu \boldsymbol{\alpha} \\ \lambda (\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}) = \lambda \boldsymbol{\alpha} + \lambda \boldsymbol{\beta}

内积

计算方法

（\alpha ，\beta）={\alpha}^T\beta={\beta}^T\alpha \\ =a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n

性质

此处需要结合定义理解

  • 对称性：(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}) = (\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\alpha})

  • 齐次性：(\lambda \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}) = \lambda (\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})

  • 可加性：(\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}) = (\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\gamma}) + (\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma})

  • 非负性：(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\alpha})\geq 0 ，当且仅当\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}时(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\alpha}) = 0

长度

计算方法：\| \alpha \| = \sqrt{\alpha \cdot \alpha} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \alpha_i^2} =\sqrt {a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}

性质：

  • 非负性：\|\boldsymbol{\alpha}\| \geq 0；，当且仅当\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}时\|\boldsymbol{\alpha}\| = 0

  • 齐次性：\|\lambda \boldsymbol{\alpha}\| = |\lambda| \cdot \|\boldsymbol{\alpha}\|

  • 向量三角不等式：\|\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}\| \leq \|\boldsymbol{\alpha}\| + \|\boldsymbol{\beta}\|

  • 柯西不等式：(\alpha，\beta)^2 \le (\alpha，\alpha)(\beta，\beta)

  • 夹角：cos \theta = \frac {(\alpha，\beta)} {\| \alpha \|\| \beta \|}

线性相关与线性无关

  • 任意n维向量可由n为单位坐标向量组线性表示，且线性表示的系数为该向量的分量a_i

\begin{aligned} \boldsymbol{\alpha} &= (a_1, a_2, \dots, a_n)^T \\ &= a_1\boldsymbol{e}_1 + a_2\boldsymbol{e}_2 + \dots + a_n\boldsymbol{e}_n \end{aligned}

  • 两个向量的向量组，线性相关的充要条件为平行或者共线；三个向量的充要条件是共面

  • 线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可以由其余向量表示

  • 如果向量组\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n线性无关，增加一个向量\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n,\boldsymbol{\beta}线性相关，则\boldsymbol{\beta}可由其他向量表示，且表示方法唯一

  • 如果向量组\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n线性相关，增加多个向量\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n,\boldsymbol{\alpha}_{n+1},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_m仍然线性相关

  • 如果向量组\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n，\boldsymbol{\alpha}_i = \begin{pmatrix} a_{1i} \\ a_{2i} \\ \vdots \\ a_{mi} \end{pmatrix}线性无关，每个向量增加一个维度\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_n，\boldsymbol{\beta}_i = \begin{pmatrix} a_{1i} \\ a_{2i} \\ \vdots \\ a_{mi} \\ a_{(m+1)i} \end{pmatrix}仍然线性无关

  • 任意n+1个n维向量组一定线性相关（对应线性方程中未知数多余方程个数）

  • 由上条推出任意多于n个的n维向量组一定线性相关

最大线性无关组

  • 如果向量组A能由向量组B线性表示，且向量组A线性无关，则向量组A的向量个数不多于向量组B

A=(\alpha_1, \dots, \alpha_r) \\ B=(\beta_1, \dots, \beta_s) \\ r\le s

  • 如果向量A可用向量B线性表示，且A含有的向量个数多于B，则A线性相关（上一条反向）

  • 等价的线性无关向量组的向量个数相等，等价的向量组的秩相同

  • 向量组线性无关的充要条件就是最大线性无关组为本身或者向量组的秩与向量个数相等

  • 向量组的所有线性无关组等价且向量个数相等

  • 如果向量组A能由向量组B线性表示，则A的秩小于B的秩r_A \le r_B（向量组A不一定线性无关）

  • 只做行变换，矩阵A转换为B，则A的行向量与B的行向量等价，A、B对应列的线性相关性（线性相关或线性无关）相同

  • 同上，只做列变换，矩阵A转换为B，则A的列向量与B的列向量等价，A、B对应行的线性相关性（线性相关或线性无关）相同

  • 矩阵的秩等于其行秩等于其列秩

  • 若n阶方阵的秩R(A)=n，则行向量和列向量均线性无关

]]>/archives/2a137b09-ebfe-47f8-a80a-2ca37a226f91特呆萌的徒弟线代笔记Sun, 30 Nov 2025 11:55:39 GMT<![CDATA[线代笔记第二章下：矩阵]]>https://www.tedaimeng.cn/archives/60cec057-8fbf-45f5-b1c6-468e28f38504

名词解析

以下说法等价：非奇异矩阵⇔满秩矩阵⇔可逆矩阵⇔标准型为E⇔可表示为有限个初等方阵的乘积

  • 分块矩阵：通过横竖线将矩阵划分为多个区块，每个区块形成的小矩阵：

\begin{aligned} A=& \begin{pmatrix} \begin{array}{ccc|c} \textcolor{red}{a_{11}} & \textcolor{red}{a_{12}} & \textcolor{red}{a_{13}} & \textcolor{green}{a_{14}} \\ \textcolor{red}{a_{21}} & \textcolor{red}{a_{22}} & \textcolor{red}{a_{23}} & \textcolor{green}{a_{24}} \\ \hline \textcolor{yellow}{a_{31}} & \textcolor{yellow}{a_{32}} & \textcolor{yellow}{a_{33}} & a_{34} \\ \end{array} \end{pmatrix} \\ =& \begin{pmatrix} \textcolor{red}{A_{11}} & \textcolor{green}{A_{12}} \\ \textcolor{yellow}{A_{21}} & A_{22} \end{pmatrix} \end{aligned}

  • 分块对角矩阵：同对角矩阵，但所有的A_k均为方阵

A= \begin{pmatrix} A_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & A_n \\ \end{pmatrix}

  • 分块反对角矩阵：同反对角矩阵和分块对角矩阵

  • k阶子式：矩阵中选取k行k列交叉的值组合为一个k阶行列式

    • 注意，选取的k行k列不一定相邻

    • 注意，k \le min\begin{bmatrix} m,n \end{bmatrix},共有C_m^kC_n^k个k阶子式

例如选取7阶行列式的1、4、7行和列 \\ \begin{pmatrix} \begin{array}{c|cc|c|cc|c} \textcolor{red}{a_{11}} & \textcolor{green}{a_{12}} & \textcolor{green}{a_{13}} & \textcolor{red}{a_{14}} & \textcolor{green}{a_{15}} & \textcolor{green}{a_{16}} & \textcolor{red}{a_{17}} \\ \hline \textcolor{green}{a_{21}} & a_{22} & a_{23} & \textcolor{green}{a_{24}} & a_{25} & a_{26} & \textcolor{green}{a_{27}} \\ \textcolor{green}{a_{31}} & a_{32} & a_{33} & \textcolor{green}{a_{34}} & a_{35} & a_{36} & \textcolor{green}{a_{37}} \\ \hline \textcolor{red}{a_{41}} & \textcolor{green}{a_{42}} & \textcolor{green}{a_{43}} & \textcolor{red}{a_{44}} & \textcolor{green}{a_{45}} & \textcolor{green}{a_{46}} & \textcolor{red}{a_{47}} \\ \hline \textcolor{green}{a_{51}} & a_{52} & a_{53} & \textcolor{green}{a_{54}} & a_{55} & a_{56} & \textcolor{green}{a_{57}} \\ \textcolor{green}{a_{61}} & a_{62} & a_{63} & \textcolor{green}{a_{64}} & a_{65} & a_{66} & \textcolor{green}{a_{67}} \\ \hline \textcolor{red}{a_{71}} & \textcolor{green}{a_{72}} & \textcolor{green}{a_{73}} & \textcolor{red}{a_{74}} & \textcolor{green}{a_{75}} & \textcolor{green}{a_{76}} & \textcolor{red}{a_{77}} \end{array} \end{pmatrix} \\组成的行列式：\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{14} & a_{17} \\ a_{41} & a_{44} & a_{47} \\ a_{71} & a_{74} & a_{77} \end{vmatrix}

  • 最高阶非零子式：即行列式不等于0的k阶子式的最大值r；阶数大于r的所有子式子都为零，而有r阶非零子式，记为R(A)=r

  • 满秩/降秩矩阵：矩阵A为n阶方阵，R(A)=n为满秩矩阵，R(A)\le n为降秩矩阵

  • 初等[行/列]变换：与矩阵类似，做以下三种变换

    • 对调两行/列，记作r_i \leftrightarrow r_j或c_i \leftrightarrow c_j

    • 某行/列所有元全部乘一个系数k，记作r_i×k或c_i×k

    • 某行/列所有元乘以一个系数k加到另外一行/列，记作r_i+kr_j或c_i+kc_j

  • 等价：两个矩阵可互相通过初等变换转为另一个矩阵，记作A\sim B

  • 行阶梯形矩阵/阶梯形：①全为0的行排在下面②以任意非零行从左往右首个非零元为原点，左下方均为零，例如：

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 0 & 3 \\ \color{blue}0 & \color{red}-3 & 2 & 4 & 0 \\ \color{blue}0 & \color{blue}0 & 0 & 0 & 5 \\ \color{blue}0 & \color{blue}0 & \color{green}0 & \color{green}0 & \color{green}0 \end{pmatrix}

  • 行最简形矩阵：行阶梯形矩阵中，非零行从左往右首个非零元均为0，且该元所在列其他元素均为0（即正上方也为0），例如上一个式子的：

A = \begin{pmatrix} 1 & \color{blue}0 & \frac{16}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ \color{blue}0 & \color{red}1 & -\frac{2}{3} & -\frac{4}{3} & 0 \\ \color{blue}0 & \color{blue}0 & 0 & 0 & 1 \\ \color{blue}0 & \color{blue}0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

  • 标准型：先确定原矩阵A的秩R(A)=r，结果为A的同型矩阵，左上角为E_{r×r}其他元用0取代，如

\begin{pmatrix} E_{r×r} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

  • 初等方阵：单位矩阵E通过一次初等变换得到的方阵

  • 逆矩阵：若矩阵A可逆，则能找到逆矩阵A^{-1}，满足AA^{-1}=A^{-1}A=E

  • 伴随矩阵：原矩阵A的所有代数余子式按转置排列的矩阵，记作A^*，例如

A=(a_{ij})_{m×n} \\ A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} \\ A^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix}

  • 正交矩阵：方阵A若有A^T满足A^TA=AA^T=E，则为正交矩阵（正交矩阵一定是方阵）

分块矩阵

性质

分块矩阵满足普通矩阵运算：

  • 加法（必须整体同型且各个分块同型）

\begin{aligned} A=& \begin{pmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ A_{s1} & \cdots & A_{sr} \end{pmatrix} \\ B=& \begin{pmatrix} B_{11} & \cdots & B_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ B_{s1} & \cdots & B_{sr} \end{pmatrix} \\ A±B=& \begin{pmatrix} A_{11}±B_{11} & \cdots & A{1r}±B_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ A_{s1}±B_{s1} & \cdots & A_{sr}±B_{sr} \end{pmatrix} \end{aligned}

  • 数乘

λA= \begin{pmatrix} λA_{11} & \cdots & λA_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ λA_{s1} & \cdots & λA_{sr} \end{pmatrix} \\

  • 乘法（A_{ik}的列数要与B_{kj}的行数一致）

\begin{aligned} C_{ij}&=\sum\limits_{k=1}^s A_{ik}B_{kj} \\ &=A_{i1}B_{k1}+A_{i2}B_{2j}+\cdots+A_{is}B_{sj} \\例&如:\\ AB&= \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \\ B_{31} & B_{32} \end{pmatrix} = \end{aligned} \\ \begin{pmatrix} A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}+A_{13}B_{31} & A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}+A_{13}B_{32}\\ A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21}+A_{23}B_{31} & A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}+A_{23}B_{32} \\ \end{pmatrix}

分块对角矩阵的方阵有：\begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A_{1} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} A_{2} \end{vmatrix} \cdots \begin{vmatrix} A_{n} \end{vmatrix}

分块反对角矩阵有：\begin{vmatrix} A \end{vmatrix} =± \begin{vmatrix} A_{1} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} A_{2} \end{vmatrix} \cdots \begin{vmatrix} A_{n} \end{vmatrix} ，正负号计算转换到分块对角矩阵的方阵的步骤数。

矩阵的秩

  • R(A^T)=R(A)

  • A为奇异矩阵=\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}满秩，A为非奇异矩阵=\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}降秩

  • 满秩矩阵可化成有限个初等矩阵的乘积（即可从单位矩阵做行/列变换得到）

矩阵等价

性质

  • 可与平行线类比

    • 反身性：矩阵A与它本身等价

    • 对称性：A与B等价，则B与A等价（互相等价）

    • 传递性：A与B等价，B与C等价，则A与C等价

  • 相互等价的A、B有R(A)=R(B)

初等方阵

类型

  • 对调E的两行/列

E(i,j) = \begin{pmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & 0 & \cdots & 1 & \\ & & & \vdots & \ddots & \vdots & \\ & & & 1 & \cdots & 0 & \\ & & & & & & \ddots \\ & & & & & & & 1 \end{pmatrix} \begin{matrix} \\ \\ \longleftarrow \text{第}i\text{行} \\ \\ \longleftarrow \text{第}j\text{行} \\ \\ \end{matrix}

  • 某行乘系数k

E(i(k)) = \begin{pmatrix} 1 \\ & \ddots \\ & & 1 \\ & & & k & & \\ & & & & 1 & \\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & 1 \end{pmatrix} \begin{matrix} \\ \\ \longleftarrow \text{第}i\text{行} \\ \\ \\ \\ \end{matrix}

  • 某行乘系数加到另一行

E(j(k),i) = \begin{pmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & 1 & \cdots & k & \\ & & & & \ddots & \vdots & \\ & & & & & 1 & \\ & & & & & & \ddots \\ & & & & & & & 1 \end{pmatrix} \begin{matrix} \\ \\ \longleftarrow \text{第}i\text{行} \\ \\ \longleftarrow \text{第}j\text{行} \\ \\ \end{matrix}

由于E的对称性，行变换和列变换得到的结果是一样的，所以不需要区分行/列

性质

用初等方阵与矩阵A相乘相当于对A进行初等变换（E左行右列）：

行变换

E_xA形式

  • E(i,j)A为对调第i、j行

  • E(i(k))A为第i行乘一个系数

  • E(j(k),i)A为第j行乘系数k加到i行

列变换

AE_x形式

  • AE(i,j)为对调第i、j列

  • AE(i(k))为第i列乘一个系数

  • AE(j(k),i)为第j列乘系数k加到i列

对A=(a_{ij})_{m×n}做初等变换，行变换为左乘一个m阶初等方阵，列变换为右乘一个n阶初等方阵

逆矩阵

性质

判断可逆的充要条件为\begin{vmatrix} A \end{vmatrix} ≠0

若A可逆，则A的逆矩阵唯一

若A可逆，则λA可逆且(λA)^{-1}=\frac 1 λ A^{-1}

若A、B为同阶可逆方阵，则AB可逆且(AA)^{-1}=B^{-1}A^{-1}

若A可逆，则A^T可逆，且(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T

初等方阵可逆，且逆矩阵为同类矩阵（可看作逆矩阵为反向初等变换的初等矩阵）

伴随矩阵重要公式：

AA^*=A^*= \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} E

若A可逆，则上条可推出

\begin{aligned} A^{-1}=&\frac 1 {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} A^* \\ {\begin{vmatrix} A^{-1} \end{vmatrix}} =& {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}^{-1} \end{aligned}

求解逆矩阵

对可逆且满秩矩阵A求逆矩阵A^{-1}，先生成一个新矩阵\begin{pmatrix} A & E \end{pmatrix}，之后进行初等行变换把左侧变成单位矩阵，得到\begin{pmatrix} E & A^{-1} \end{pmatrix}

对其他矩阵，只能通过求伴随矩阵，再通过逆矩阵的关系求解

正交矩阵

正交矩阵A有\begin{vmatrix} A \end{vmatrix} =±1

克拉默法则解

  1. 解线性方程组：

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2, \\ \qquad \dots \dots \dots \dots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \dots + a_{nn}x_n = b_n. \end{cases}

  1. 转换为矩阵

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}

  1. 分别赋值AX=B：

\begin{aligned} A &= (a_{ij})_{n \times n} \\ &= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix} \\ \quad X &= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} \end{aligned}

克拉默法则：如果\begin{vmatrix} A \end{vmatrix} ≠0方程组为唯一解，且解为

X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = A^{-1}B

等价于行列式中的形式（D=|A|）：

x_1 = \frac{D_1}{|A|}, \quad x_2 = \frac{D_2}{|A|}, \quad \dots, \quad x_n = \frac{D_n}{|A|}

特殊情况：如B=0且\begin{vmatrix} A \end{vmatrix} ≠0，则AX=0只有0解，即X=\mathbf{0}

]]>/archives/60cec057-8fbf-45f5-b1c6-468e28f38504特呆萌的徒弟线代笔记Fri, 28 Nov 2025 17:55:57 GMT<![CDATA[线代笔记第二章上：矩阵]]>https://www.tedaimeng.cn/archives/c5d49eed-657f-475b-abcb-89036872d001

包含第一、二节

名词解析：

  • 矩阵：由m×n个数排列成数表，记作A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix}，或者简记为A=(aij)m×n或A=(aij)

  • 方阵：矩阵m和n可相等可不相等，m=n时，称为n阶方阵

  • [主]/反对角线：同行列式

  • 零矩阵：所有元为0的矩阵，记作0

    • 元素全为0的是零矩阵，但不是所有的零矩阵都相等（非同型矩阵的两个零矩阵）

  • 行/列矩阵/向量：行数m/列数n为1的时候，矩阵只有一行/列，又称为行/列向量

  • 同型矩阵：行数m和列数n同时相等的两个矩阵

  • 两个矩阵相等的条件：同型矩阵+对应元的值均相等

  • 负矩阵：矩阵所有元取相反值

  • 数乘：矩阵与数的乘积

    -A= \begin{pmatrix} -a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & -a_{22} & \cdots & -a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & -a_{nn} \\ \end{pmatrix}

  • 实/复矩阵：元全部为实数的为实矩阵，有复数的为复矩阵

  • 转置：同行列式，将行和列置换

    A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} \\ A^T= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix}

  • 方阵的行列式：将方阵的元与同阶的行列式对应，得到的行列式称为方阵的行列式\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}

  • [代数]余子式：方阵A的行列式\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}对应的[代数]余子式

  • [非]奇异矩阵：方阵A的行列式\begin{vmatrix} A \end{vmatrix} ≠\mathbf{0}为非奇异矩阵，\begin{vmatrix} A \end{vmatrix} =\mathbf{0}为奇异矩阵

  • 共轭矩阵：矩阵所有元的共轭复数\overline{A}=(\overline{a_{ij}})_{m×n}

  • 以下为特殊矩阵

    • 对角矩阵：除了主对角线的其他元全部为0，记为

      Λ= \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix}

    • 反对角矩阵：对角矩阵的对角线改为反对角线，其他同

    • 数量矩阵：对角矩阵中对角线上的所有元相等

      \begin{aligned} Λ=& \begin{pmatrix} λ & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & λ & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & λ \\ \end{pmatrix} \\ =λ& \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix} \end{aligned}

    • 单位矩阵：数量矩阵的λ为1，记为E或者I

      E=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix}

基本运算

加法

计算方法：

同型矩阵A=(aij)m×n、B=(bij)m×n相加为同位的元相加（只有同型矩阵可加减）

\begin{aligned} C&=A+B \\ &=(aij+bij)m×n \\ &= \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1}+b_{n1} & a_{n2}+b_{n2} & \cdots & a_{nn}+b_{nn} \\ \end{pmatrix} \end{aligned}

规律：

与数字的加法规律相同

\begin{aligned} \\ A+B&=B+A \\ (A+B)+C&=A+(B+C) \\ A+(-A)&=\mathbf{0} \\ A+\mathbf{0}&=\mathbf{0}+A=A \end{aligned}

数乘

计算方法：

每个元乘以该数字

λA= \begin{pmatrix} λa_{11} & λa_{12} & \cdots & λa_{1n} \\ λa_{21} & λa_{22} & \cdots & λa_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ λa_{n1} & λa_{n2} & \cdots & λa_{nn} \\ \end{pmatrix}

规律：

与数字的乘法规律相同

\begin{aligned} (λμ)A&=λ(μA)=μ(λA) \\ (λ+μ)A&=λA+μA \\ λ(A+B)&=λA+λB \\ 1A&=A \\ -1A&=-A \\ \mathbf{0}A&=\mathbf{0} \\ λ\mathbf{0}&=\mathbf{0} \end{aligned}

乘法

计算方法：

前一个矩阵的第i行和后一个矩阵的第j列各个元一一对应相乘（从上到下，从左到又进行匹配），计算的总和为结果的第i行j列元的数值

\begin{aligned} c_{ij}&=\sum\limits_{k=1}^s a_{ik}b_{kj} \\ &=a_{i1}b_{k1}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj} \\例&如:\\ AB&= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \end{pmatrix} = \end{aligned} \\ \begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32}\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32} \\ \end{pmatrix}

规律:

  • 前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数应该相等，结果的行数为前一个矩阵，列数为后一个矩阵

(a_{ij})_{m×s}(c_{ij})_{s×n}=(c_{ij})_{m×n}

  • 与数字的乘法规律相似，但不满足乘法交换律！！！

\begin{aligned} A(BC)&=(AB)C \\ A(B+C)&=AB+AC\textcolor{red}{≠BA+CA} \\ (B+C)A&=BA+CA\textcolor{red}{≠AB+AC} \\ λ(AB)&=(λA)B=A(λB) \\ A\mathbf{0}&=\mathbf{0} \\ \mathbf{0}A&=\mathbf{0} \end{aligned}

转置

规律：

\begin{aligned} (A^T)^T&=A \\ (A+B)^T&=A^T+B^T \\ (λA)^T&=λA^T \\ (AB)^T&=B^TA^T \end{aligned}

方阵与行列式

规律：

\begin{aligned} \begin{vmatrix} A^T \end{vmatrix} =& \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} λA \end{vmatrix} =& λ^n \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} AB \end{vmatrix} =& \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} \begin{vmatrix} B \end{vmatrix} \end{aligned}

  • 正常情况方阵A、B有A≠B，但总有\begin{vmatrix} AB \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} BA \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} \begin{vmatrix} B \end{vmatrix}

  • 对于非方阵的矩阵A、B，正常情况\begin{vmatrix} AB \end{vmatrix} ≠ \begin{vmatrix} BA \end{vmatrix}

共轭

规律：

\begin{aligned} \overline{A+B}&=\overline{A}+\overline{B} \\ \overline{AB}&=\overline{A}\space\overline{B} \\ \overline{λA}&=\overline{λ}\space\overline{A} \\ \overline{A^T}&={\overline{A}}^T \end{aligned}

特殊矩阵

规律：

  • 单位矩阵E可添放在任何矩阵前后A_{m×n}E_{n×n}=E_{m×m}A_{m×n}=A_{m×n}

  • 设f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_mx^m，方阵A则有

    f(A)=a_0E+a_1A+a_2A^2+\cdots+a_mA^m

    • 此处的f(A)得到的值仍然是矩阵，称为方阵的A的m次多项式

]]>/archives/c5d49eed-657f-475b-abcb-89036872d001特呆萌的徒弟线代笔记Fri, 28 Nov 2025 16:13:11 GMT<![CDATA[线代笔记第一章：行列式]]>https://www.tedaimeng.cn/archives/429d7adb-5136-4008-b5ae-bc752d60ea9c

名词解析

  • 行列式：用于求解变量和方程式相等的符号（DET）

  • 全排列/排列：把n个不同元素排成一列，用Pn表示不同全排列顺序的数量，Pn=n!

  • 逆序：规定一个标准顺序（自然数一般从小到大），任意两个元素的先后顺序与标准顺序不同，称为一个逆序

  • 逆序数：一个排列中逆序的数量

  • 奇排列/偶排列：以逆序数的奇偶划分

  • 对换：排列中任意两个元素对换

  • 主对角线：从左上到右下的对角线元素：a_{11} a_{22} \dots a_{nn}

  • 反对角线：从右上到左下的对角线元素：a_{n1} a_{(n-1)2} \dots a_{1n}

  • 以下为特殊行列式：

    • 对角行列式：除了主对角其他元素为0

    • 反对角行列式：除了反对角其他元素为0

    • 上三角：主对角线以下的元素为0

    • 下三角：主对角线以上的元素为0

  • 转置行列式DT：行列对调，如三阶行列式

    \begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \\ D^T &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \\ \end{vmatrix} \end{aligned}

  • 行/列变换：互换行列式的两行或两列

  • 余子式和代数余子式：在行列式中将某一元素aij所在的行和列的元素删去，余下元素组成的行列式为余子式；余子式乘(-1)i+j为代数余子式：

\begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} a_{11} & \textcolor{red}{a_{12}} & a_{13} & a_{14}\\ \textcolor{red}{a_{21}} & \textcolor{red}{a_{22}} & \textcolor{red}{a_{23}} & \textcolor{red}{a_{24}}\\ a_{31} & \textcolor{red}{a_{32}} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & \textcolor{red}{a_{42}} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \\ M_{22}& = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{14} \\ a_{31} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix} \\ A_{22}&=(-1)^{2+2}M_{22} \end{aligned}

对换定理

  • 对换改变排列奇偶性

  • 标准排列逆序数为0，奇排列对换为标准排列为奇数次，偶排列为偶数

排列和行列式

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = \sum\limits_{p_1 p_2 p_3} (-1)^t a_{_1,p_1} a_{_2,p_2} a_{_3,p_3}

其中p1、p2、p3是1,2,3的排列，t为这种排列的逆序数，此处为按行排列，按列排列同理

可看作从行列式中选取3个不同行不同列的元素，按照行为1,2,3排列，例如a_{12}a_{21}a_{33}，逆序数t=1

线性方程和行列式

\left\{ \begin{array}{rrr} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}=b_2 \\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}=b_3 \end{array} \right.

转换为行列式：

\begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} \\ D_1 &= \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} & a_{13} \\ b_2 & a_{22} & a_{23} \\ b_3 & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} \\ x_1&=\frac {D_1} D \\ D_2 &= \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 & a_{13} \\ a_{21} & b_2 & a_{23} \\ a_{31} & b_3 & a_{33} \\ \end{vmatrix} \\ x_2&=\frac {D_2} D \\ D_3 &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & b_3 \\ \end{vmatrix} \\ x_3&=\frac {D_3} D \end{aligned}

特殊行列式计算

  • 上/下三角行列式/对角行列式：D = a_{11} a_{22} \dots a_{nn}

  • 反上/反下三角行列式/反对角行列式D = (-1)^{\frac {n(n-1)} 2}a_{n1} a_{(n-1)2} \dots a_{1n}，其中的指数为排列的逆序数

行/列变换性质

  • 转置行列式与原行列式相等：DT=D

  • 行/列变换，行列式的值改变正负号

  • 若某行/列元素全为零，则行列式值为0

  • 若两行/列元素对应相等或成比例，则行列式值为0

  • 若某行/列每个元素都乘一个系数，则行列式值乘该系数：

    \begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \\ D'& = \begin{vmatrix} ka_{11} & a_{12} & a_{13} \\ ka_{21} & a_{22} & a_{23} \\ ka_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} =kD \space \end{aligned}

  • 上条定理可反着用，某行/列可提出公因式，即：D' = \begin{vmatrix} ka_{11} & a_{12} & a_{13} \\ ka_{21} & a_{22} & a_{23} \\ ka_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} =kD \space

  • 将某行乘一个系数加到另外一行，行列式值不变：

    \begin{aligned} D =& \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \\ =& \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}+ka_{13} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22}+ka_{23} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32}+ka_{33} & a_{33} \end{vmatrix} \end{aligned}

注：可通过以上变换方式将任意行列式转换为三角行列式便于计算

展开

  • 某个元素aij所在行或列的其他元素为0，则有D=aijAij：

\begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} a_{11} & \textcolor{red}{0} & a_{13} & a_{14}\\ \textcolor{red}{a_{21}} & \textcolor{red}{a_{22}} & \textcolor{red}{a_{23}} & \textcolor{red}{a_{24}}\\ a_{31} & \textcolor{red}{0} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & \textcolor{red}{0} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \\ &=a_{22} A_{22} \\ &=(-1)^{2+2}a_{22} M_{22} \\ &=a_{22} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{14} \\ a_{31} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix} \end{aligned}

  • 行列式等于某行/某列的所有的元素乘以其代数余子式的总和：

D = \sum\limits^n_{k=1}a_{ik}A_{ik} D=\sum\limits^n_{k=1}a_{ki}A_{ki} \\ 例如： \\ \begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ \textcolor{red}{a_{21}} & \textcolor{red}{a_{22}} & \textcolor{red}{a_{23}} & \textcolor{red}{a_{24}}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \\ &=a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}+a_{23}A_{23}+a_{24}A_{24} \end{aligned}

  • 某行/列的元素乘其他行对应元素的代数余子式的总和为0，即i≠j时（反直觉）

    \sum\limits^n_{k=1}a_{ik}A_{jk}=\sum\limits^n_{k=1}a_{ki}A_{kj}=0 \\例如4阶行列式\\ a_{11}A_{41}+a_{12}A_{42}+a_{13}A_{43}+a_{14}A_{44}=0

  • 对于行列式A、B、C，排列成\begin{vmatrix} A & C \\ 0 & B \end{vmatrix}或者\begin{vmatrix} A & 0 \\ C & B \end{vmatrix}，值为\begin{vmatrix} A \end{vmatrix} \begin{vmatrix} B \end{vmatrix}（A、B阶数可不相等）：

\begin{aligned} D=& \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1k} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & \cdots & a_{kk} & 0 & \cdots & 0 \\ c_{11} & \cdots & c_{1k} & b_{11} & \cdots & b_{1r} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{r1} & \cdots & c_{rk} & b_{r1} & \cdots & b_{rr} \end{vmatrix} \\ =& \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1k} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & \cdots & a_{kk} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ b_{r1} & \cdots & b_{rr} \end{vmatrix} \end{aligned}

]]>/archives/429d7adb-5136-4008-b5ae-bc752d60ea9c特呆萌的徒弟线代笔记Fri, 28 Nov 2025 12:09:52 GMT<![CDATA[高数笔记第一章：极限]]>https://www.tedaimeng.cn/archives/e3062efc-d8e9-4591-b3d3-92463a707907

切线定义:定点+动点的直线，当两点靠近到交于一点形成。不管动点从哪边靠近，逼近后形成的切线是一致的。（绝对值函数等无切线）

光滑的曲线指都有切线。

函数的特性：

有界函数需要同时存在上下界。如果存在上界就一定有最小上界（上确界），如果存在下届就一定有最大下界（下确界）。由于存在无限逼近函数，有上下界的函数不一定有最大最小值。

奇偶性前置条件：定义域对称。任何一个函数都可以表示为奇偶两个函数的和：

g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}; h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}; f(x)=g(x)+h(x)

周期函数前置条件：定义域是无限的。有周期的函数不一定有最小正周期，但是绝大部分函数是有的。

其中，单调和周期两个特性冲突，因此同一个函数最多有3个特性。

函数的延拓一般用文字表述。

]]>/archives/e3062efc-d8e9-4591-b3d3-92463a707907特呆萌的徒弟高数笔记Mon, 13 Oct 2025 12:43:58 GMT<![CDATA[使用nftables进行ntp重定向]]>https://www.tedaimeng.cn/archives/2eb2f623-c86f-4d95-b9f9-51baaad3aca9

首先还是得感谢前人的智慧：

https://www.right.com.cn/forum/thread-4067470-1-1.html


但是这篇文章是iptables的重定向规则，不能适应现在的新的nftables。因此把重定向规则修改了一下。
首先在/etc/nftables.d/目录下修改，任意编辑一个新文件，填入以下内容： 

chain PREROUTING {
    type nat hook prerouting priority dstnat; policy accept;
    iifname "br-lan" udp dport 123 redirect to :123 
    
 }

其中br-lan是你自己的内网网卡名称，注意修改。

然后执行

fw4 reload

重载即可

]]>/archives/2eb2f623-c86f-4d95-b9f9-51baaad3aca9特呆萌的徒弟CQU校园网Sun, 28 Sep 2025 00:53:12 GMT<![CDATA[CQU校园网负载均衡的改进]]>https://www.tedaimeng.cn/archives/754b09f7-e5e0-4429-b789-eee5fea839b0

首先得感谢前人智慧：

https://github.com/cyyself/drcom-http-multidial

但这个已过时，登录方法在如今已经无法使用。

我针对A区网络环境稍微进行抓包修改了一下。同时我参考了这篇文章的登录命令，非常感谢！

https://blog.krytro.com/blogs/daily/240322.html

代码如下：

import os
from time import *
conn = [
	{
		"username":"20252025", #学号
		"password":"cqucqucqu", #密码
        "ua": "Mozilla%2F5.0%20(Macintosh%3B%20Intel%20Mac%20OS%20X%2010_15_7)%20AppleWebKit%2F537.36%20(KHTML%2C%20like%20Gecko)%20Chrome%2F139.0.0.0%20Safari%2F537.36",
		"night_discon":False, #周一到周五0:00-6:00晚上是否不连接
		"type":"1", #电脑1手机2
		"callback":"dr1004",#电脑dr1004手机dr1005
		"mwan_interface":"WANA",#在mwan显示的名称
		"device_interface":"wan_A",#在接口显示的名称
		"v": "4180"
	},
	{
		"username": "20252025",
		"password": "cqucqucqu",
		"ua": "Mozilla%2F5.0%20(Macintosh%3B%20Intel%20Mac%20OS%20X%2010_15_7)%20AppleWebKit%2F537.36%20(KHTML%2C%20like%20Gecko)%20Chrome%2F139.0.0.0%20Safari%2F537.36",
		"night_discon": False,
		"type":"1",
		"callback":"dr1004",
		"mwan_interface": "WANB",
		"device_interface": "wan_B",
		"v": "4180"
	},
	{
        #目前发现无法稳定连接3台设备，会频繁掉线，最好两台设备。
		"username": "20252025",
		"password": "cqucqucqu",
		"ua": "Mozilla%2F5.0%20(iPhone%3B%20CPU%20iPhone%20OS%2018_5%20like%20Mac%20OS%20X)%20AppleWebKit%2F605.1.15%20(KHTML%2C%20like%20Gecko)%20Version%2F18.5%20Mobile%2F15E148%20Safari%2F604.1",
		"night_discon": False,
		"type":"2",
		"callback":"dr1005",
		"mwan_interface": "WANC",
		"device_interface": "wan_C",
		"v": "9367"
	}
]
tmp_file = "/tmp/drcom_result.txt"
#CONFIG END

def check_status(interface):# If you don't use mwan3, you should manually change this function.
	os.system("/usr/sbin/mwan3 status > {}".format(tmp_file))
	try:
		with open(tmp_file,'r',encoding='ascii',errors='ignore') as file:
			result = file.read()
			if result.find("interface {} is offline".format(interface)) != -1:
				return False
			else:
				return True
	except:
		return True


def do_login(username,password,device_interface,mwan_interface,ua,type,callback,v):
	ip = "$(ifconfig " + device_interface + " | grep 'inet addr:' | grep -oE '([0-9]{1,3}.){3}.[0-9]{1,3}' | head -n 1)"
	if callback == "dr1004":
		mac = "$(cat /sys/class/net/"+device_interface+"/address | sed 's/://g')"
	else:
		mac = "000000000000"
	cmd = "mwan3 use {} curl -s \"https://login.cqu.edu.cn:802/eportal/portal/login?callback={}&login_method=1&user_account=%2C0%2C{}&user_password={}&wlan_user_ip={}&wlan_user_ipv6=&wlan_user_mac={}&wlan_ac_ip=&wlan_ac_name=&term_ua={}&term_type={}&jsVersion=4.2.2&terminal_type={}&lang=zh-cn&v={}&lang=zh\" ".format(mwan_interface,callback,username,password,ip,mac,ua,type,type,v)
	print(cmd)
	os.system(cmd)

def write_pid():
	with open('/var/run/drcom.pid','w') as file:
		file.write(str(os.getpid()))

def watchdog():
	cold_start = True
	while True:
		for x in conn:
			if x['night_discon'] and (time()+8*60*60) % (24*60*60) < (6*60*60) and (strftime("%a",gmtime(time()+8*60*60)) not in ['Sat','Sun']):
				continue
			if not check_status(x['mwan_interface']):
				print("[INFO] {} attempt login {}".format(asctime(localtime(time())),x['username']))
				do_login(x['username'],x['password'],x['device_interface'],x['mwan_interface'],x['ua'],x["type"],x['callback'],x['v'])
			else:
				if cold_start:
					print("[INFO] {} already logged in {}".format(asctime(localtime(time())),x['username']))
		cold_start = False
		sleep(30)

def addiprule():
	# Avoid error caused by mwan3
	os.system("/sbin/ip rule del pref 100 to {} lookup main".format(authserver))
	os.system("/sbin/ip rule add pref 100 to {} lookup main".format(authserver))

addiprule()
write_pid()
watchdog()

目前在A区不能实现3台设备模拟，会频繁掉线，2台设备较为稳定，欢迎大家留言问题进行修改。（可以在mwan中禁用第三条接口）

]]>/archives/754b09f7-e5e0-4429-b789-eee5fea839b0特呆萌的徒弟CQU校园网Fri, 19 Sep 2025 15:39:35 GMT