名词解析

向量正交：两个向量内积为0 $(\alpha,\beta)=0$ （几何上垂直）
正交向量组/矩阵：向量组内任意两个向量均正交
标准正交向量组：所有向量均为单位向量的正交向量组
八条运算规律：

\begin{aligned} &(\forall \alpha,\beta,\gamma \in V\ \forall k,l \in \mathbb{R}): \\& \alpha+\beta=\beta+\alpha \\& (\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma) \\& \alpha+\boldsymbol{0}=\alpha \\& \alpha+\beta=\boldsymbol{0} \\& 1 \cdot \alpha=\alpha \\& k(l\alpha)=(kl)\alpha \\& (k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha \\& k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta, \\ \end{aligned}

向量空间：多个同阶向量构成的非空集合 $V$ 加法满足封闭性 $\alpha,\beta \in V, \alpha+\beta \in V$ ，数乘满足封闭性 $\alpha \in V,\ \forall k \in \mathbf{R},k\alpha \in V$ ，且满足八条运算规律（实际上只要判断加法数乘封闭就已经满足了八条运算规律）
向量子空间：向量空间 $V$ 的非空子集 $S$ 也为向量空间，称 $S$ 为 $V$ 的子空间
向量空间的基：向量空间V中取部分向量组成的线性无关向量组 $a_1,a_2,\cdots,a_r$ 能线性表示V中任意向量，则称这个向量组为V的基，且向量个数r为V的维数，V是r维向量空间（可类比向量组的最大线性无关组，r是秩）
向量的坐标：选一个包含向量 $\alpha$ 向量空间 $V$ ，选择该向量的一个基 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r$ ，满足 $\alpha = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \dots + x_r\alpha_r$ ，则称有序数组 $(x_1, x_2, \dots, x_r)^T$ 为 $\alpha$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r$ 的坐标
基变换公式：同一向量空间的两个基，由一个基 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ 乘以一个矩阵 $P$ 转换为另一个基 $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n$ 的公式

\begin{cases} \beta_1 = p_{11}\alpha_1 + p_{12}\alpha_2 + \dots + p_{1n}\alpha_n, \\ \beta_2 = p_{21}\alpha_1 + p_{22}\alpha_2 + \dots + p_{2n}\alpha_n, \\ \quad \cdots \\ \beta_n = p_{n1}\alpha_1 + p_{n2}\alpha_2 + \dots + p_{nn}\alpha_n, \end{cases} \\或\\ (\beta_1\ \beta_2\ \dots\ \beta_n) = (\alpha_1\ \alpha_2\ \dots\ \alpha_n)P

过渡矩阵：上条基变换的矩阵P，称为由基 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ 到基 $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n$ 的过度矩阵

P = \begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} & \dots & p_{1n} \\ p_{21} & p_{22} & \dots & p_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ p_{n1} & p_{n2} & \dots & p_{nn} \end{pmatrix}

坐标变换公式：向量 $\alpha$ 由一个基 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ 坐标 $(x_1, x_2, \dots, x_n)^T$ 乘以基变换的过渡矩阵 $P$ 转换为另一个基 $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n$ 坐标 $(y_1, y_2, \dots, y_n)^T$ 的公式

P = (\alpha_1\ \alpha_2\ \dots\ \alpha_n)^{-1}(\beta_1\ \beta_2\ \dots\ \beta_n) \\ \begin{aligned} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} =& P \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} =& P^{-1} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \end{aligned}

线性空间的单独列出

正交向量组

性质

零向量与任何同维向量正交（不同维无法计算内积，不正交！）
正交向量组一定线性无关
正交矩阵的充要条件是行或列向量组是标准正交向量组

施密特标准正交化向量法

正交化

计算 $\beta$ ：

\begin{aligned} \beta_1 =& \alpha_1 \\ \beta_2 =& \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1 \\ \beta_3 =& \alpha_3 - \frac{(\alpha_3, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1 - \frac{(\alpha_3, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)} \beta_2 \\ \cdots \\ \beta_m =& \alpha_m - \frac{(\alpha_m, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1 - \cdots - \frac{(\alpha_m, \beta_{m-1})}{(\beta_{m-1}, \beta_{m-1})} \beta_{m-1}. \end{aligned}

标准化

计算e：

\text e_1 = \frac{\beta_1}{\| \beta_1 \|},\ e_2 = \frac{\beta_2}{\| \beta_2 \|},\ \cdots,\ e_m = \frac{\beta_m}{\| \beta_m \|} \\

则向量组 $e_1,e_2,\cdots,e_m$ 为标准正交向量组且与原向量组 $a_1,a_2,\cdots,a_m$ 等价

向量空间的基与坐标

零维向量空间没有基，只含零向量
由于基线性无关，过渡矩阵为可逆矩阵

\begin{aligned} &P = (\alpha_1\ \alpha_2\ \dots\ \alpha_n)^{-1}(\beta_1\ \beta_2\ \dots\ \beta_n) \\ &P^{-1} = (\beta_1\ \beta_2\ \dots\ \beta_n)^{-1}(\alpha_1\ \alpha_2\ \dots\ \alpha_n) \end{aligned}

线性空间

线性空间表示的不局限于数字、矩阵、向量，是对前面的抽象

名词解析

数域：一个包含0和1数集 $K$ ，具有封闭性：其中任意数字的和差积商（分母不为0）的结果仍然在 $K$ 中（类似向量空间）
八条计算公理：（此处的零元素 $\theta$ 不一定是数字0，可以是其他任意元素，只是说存在一个元素能保证下列的运算成立）

(设\ \alpha,\beta,\gamma,\theta \in V,\lambda,\mu \in \mathbf{R}) \\ \begin{aligned} &(2)\ 加法公理 \\ &公理\ 1(交换律)\quad &\alpha+\beta&=\beta+\alpha. \\ &公理\ 2(结合律)\quad &(\alpha+\beta)+\gamma&=\alpha+(\beta+\gamma). \\ &公理\ 3(有零元)\quad &\alpha+\boldsymbol{\theta}&=\alpha. \\ &公理\ 4(有负元)\quad &\alpha+(-\alpha)&=\boldsymbol{\theta}. \\ \\ &(3)\ 数乘公理 \\ &公理\ 5(结合律)\quad &\lambda(\mu \alpha)&=(\lambda \mu)\alpha. \\ &公理\ 6(分配律)\quad &\lambda(\alpha+\beta)&=\lambda \alpha+\lambda \beta. \\ &公理\ 7(分配律)\quad &(\lambda+\mu)\alpha&=\lambda \alpha+\mu \alpha. \\ &公理\ 8(单位律)\quad &1\alpha&=\alpha. \end{aligned}

线性空间：非空集合 $V$ （不是数集！集合可以是任何元素）的加法和数乘封闭（类似向量空间的封闭），满足八条公理，称为数域 $K$ 的线性空间
线性运算：满足八条公理的加法和数乘运算
实/复线性空间：数域 $K$ 是实数域 $R$ 则 $V$ 为实线性空间，数域 $K$ 是复数域 $C$ 则 $V$ 为实线性空间
狭义向量：有序数组
广义向量：线性空间的元素
矩阵空间：所有m×n的矩阵和上一章的加法数乘计算构成矩阵空间 $M_{mn}$
线性空间的子空间： $S$ 是非空集合 $V$ 的非空子集，如果对于 $V$ 定义的加法数乘 $S$ 仍然成立并构成一个线性空间，称 $S$ 为 $V$ 的子空间
线性空间 $V$ 的非空子集 $S$ 是 $V$ 的子空间的充要条件是 $S$ 加法数乘满足封闭性
生成的子空间：线性空间 $V$ 的非空子集 $S$ 使用以下公式计算出的集合 $L(S)$ ，为 $V$ 的子空间， $L(S)$ 称为 $S$ 生成的子空间
$L(S) = \left\{ \alpha = \sum_{i=1}^{k} \lambda_i \alpha_i \mid \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_k \in S,\ \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_k \in \mathbf{R} \right\}$
线性空间的交： $V_1 \cap V_2 = \{ \boldsymbol{\alpha} \mid \boldsymbol{\alpha} \in V_1 , \boldsymbol{\alpha} \in V_2 \}$
线性空间的和： $V_1 + V_2 = \{ \boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 \mid \boldsymbol{\alpha}_1 \in V_1,\ \boldsymbol{\alpha}_2 \in V_2 \}$
线性相/无关：类似之前的定义，但是0换成零元素。对于n维向量组，如果不存在满足以下式子的系数，则线性无关；若存在，则线性相关。

\lambda_1\boldsymbol{\alpha}_1 + \lambda_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + \lambda_m\boldsymbol{\alpha}_m = \boldsymbol{\theta},(\lambda_i不全为0，\theta为零元素)

内积/欧几里得空间/欧氏空间：线性空间 $V$ 的任意两个元素 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 一起对应一个唯一的实数 $(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$ ，满足以下公理， $V$ 称为欧几里得空间/欧氏空间， $(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$ 为内积