特呆萌的徒弟
2025-11-30
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线代笔记第三章下：向量组的线性相关性及线性空间

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名词解析

  • 向量正交：两个向量内积为0(α,β)=0(\alpha,\beta)=0（几何上垂直）

  • 正交向量组/矩阵：向量组内任意两个向量均正交

  • 标准正交向量组：所有向量均为单位向量的正交向量组

  • 八条运算规律：

(∀α,β,γ∈V ∀k,l∈R):α+β=β+α(α+β)+γ=α+(β+γ)α+0=αα+β=01⋅α=αk(lα)=(kl)α(k+l)α=kα+lαk(α+β)=kα+kβ,\begin{aligned} &(\forall \alpha,\beta,\gamma \in V\ \forall k,l \in \mathbb{R}): \\& \alpha+\beta=\beta+\alpha \\& (\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma) \\& \alpha+\boldsymbol{0}=\alpha \\& \alpha+\beta=\boldsymbol{0} \\& 1 \cdot \alpha=\alpha \\& k(l\alpha)=(kl)\alpha \\& (k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha \\& k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta, \\ \end{aligned}

  • 向量空间：多个同阶向量构成的非空集合VV加法满足封闭性α,β∈V,α+β∈V\alpha,\beta \in V, \alpha+\beta \in V，数乘满足封闭性α∈V, ∀k∈R,kα∈V\alpha \in V,\ \forall k \in \mathbf{R},k\alpha \in V，且满足八条运算规律（实际上只要判断加法数乘封闭就已经满足了八条运算规律）

  • 向量子空间：向量空间VV的非空子集SS也为向量空间，称SS为VV的子空间

  • 向量空间的基：向量空间V中取部分向量组成的线性无关向量组a1,a2,⋯ ,ara_1,a_2,\cdots,a_r能线性表示V中任意向量，则称这个向量组为V的基，且向量个数r为V的维数，V是r维向量空间（可类比向量组的最大线性无关组，r是秩）

  • 向量的坐标：选一个包含向量α\alpha向量空间VV，选择该向量的一个基α1,α2,…,αr\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r，满足α=x1α1+x2α2+⋯+xrαr\alpha = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \dots + x_r\alpha_r，则称有序数组(x1,x2,…,xr)T(x_1, x_2, \dots, x_r)^T为α\alpha在基α1,α2,…,αr\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r的坐标

  • 基变换公式：同一向量空间的两个基，由一个基α1,α2,…,αn\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n乘以一个矩阵PP转换为另一个基β1,β2,…,βn\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n的公式

{β1=p11α1+p12α2+⋯+p1nαn,β2=p21α1+p22α2+⋯+p2nαn,⋯βn=pn1α1+pn2α2+⋯+pnnαn,或(β1 β2 … βn)=(α1 α2 … αn)P\begin{cases} \beta_1 = p_{11}\alpha_1 + p_{12}\alpha_2 + \dots + p_{1n}\alpha_n, \\ \beta_2 = p_{21}\alpha_1 + p_{22}\alpha_2 + \dots + p_{2n}\alpha_n, \\ \quad \cdots \\ \beta_n = p_{n1}\alpha_1 + p_{n2}\alpha_2 + \dots + p_{nn}\alpha_n, \end{cases} \\或\\ (\beta_1\ \beta_2\ \dots\ \beta_n) = (\alpha_1\ \alpha_2\ \dots\ \alpha_n)P

  • 过渡矩阵：上条基变换的矩阵P，称为由基α1,α2,…,αn\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n到基β1,β2,…,βn\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n的过度矩阵

P=(p11p12…p1np21p22…p2n⋮⋮⋮pn1pn2…pnn)P = \begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} & \dots & p_{1n} \\ p_{21} & p_{22} & \dots & p_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ p_{n1} & p_{n2} & \dots & p_{nn} \end{pmatrix}

坐标变换公式：向量α\alpha由一个基α1,α2,…,αn\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n坐标(x1,x2,…,xn)T(x_1, x_2, \dots, x_n)^T乘以基变换的过渡矩阵PP转换为另一个基β1,β2,…,βn\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n坐标(y1,y2,…,yn)T(y_1, y_2, \dots, y_n)^T的公式

P=(α1 α2 … αn)−1(β1 β2 … βn)(x1x2⋮xn)=P(y1y2⋮yn)(y1y2⋮yn)=P−1(x1x2⋮xn)P = (\alpha_1\ \alpha_2\ \dots\ \alpha_n)^{-1}(\beta_1\ \beta_2\ \dots\ \beta_n) \\ \begin{aligned} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} =& P \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} =& P^{-1} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \end{aligned}

线性空间的单独列出

正交向量组

性质

  • 零向量与任何同维向量正交（不同维无法计算内积，不正交！）

  • 正交向量组一定线性无关

  • 正交矩阵的充要条件是行或列向量组是标准正交向量组

施密特标准正交化向量法

正交化

计算β\beta：

β1=α1β2=α2−(α2,β1)(β1,β1)β1β3=α3−(α3,β1)(β1,β1)β1−(α3,β2)(β2,β2)β2⋯βm=αm−(αm,β1)(β1,β1)β1−⋯−(αm,βm−1)(βm−1,βm−1)βm−1.\begin{aligned} \beta_1 =& \alpha_1 \\ \beta_2 =& \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1 \\ \beta_3 =& \alpha_3 - \frac{(\alpha_3, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1 - \frac{(\alpha_3, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)} \beta_2 \\ \cdots \\ \beta_m =& \alpha_m - \frac{(\alpha_m, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1 - \cdots - \frac{(\alpha_m, \beta_{m-1})}{(\beta_{m-1}, \beta_{m-1})} \beta_{m-1}. \end{aligned}

标准化

计算e：

e1=β1∥β1∥, e2=β2∥β2∥, ⋯ , em=βm∥βm∥\text e_1 = \frac{\beta_1}{\| \beta_1 \|},\ e_2 = \frac{\beta_2}{\| \beta_2 \|},\ \cdots,\ e_m = \frac{\beta_m}{\| \beta_m \|} \\

则向量组e1,e2,⋯ ,eme_1,e_2,\cdots,e_m为标准正交向量组且与原向量组a1,a2,⋯ ,ama_1,a_2,\cdots,a_m等价

向量空间的基与坐标

  • 零维向量空间没有基，只含零向量

  • 由于基线性无关，过渡矩阵为可逆矩阵

P=(α1 α2 … αn)−1(β1 β2 … βn)P−1=(β1 β2 … βn)−1(α1 α2 … αn)\begin{aligned} &P = (\alpha_1\ \alpha_2\ \dots\ \alpha_n)^{-1}(\beta_1\ \beta_2\ \dots\ \beta_n) \\ &P^{-1} = (\beta_1\ \beta_2\ \dots\ \beta_n)^{-1}(\alpha_1\ \alpha_2\ \dots\ \alpha_n) \end{aligned}

线性空间

线性空间表示的不局限于数字、矩阵、向量，是对前面的抽象

名词解析

  • 数域：一个包含0和1数集KK，具有封闭性：其中任意数字的和差积商（分母不为0）的结果仍然在KK中（类似向量空间）

  • 八条计算公理：（此处的零元素θ\theta不一定是数字0，可以是其他任意元素，只是说存在一个元素能保证下列的运算成立）

(设 α,β,γ,θ∈V,λ,μ∈R)(2) 加法公理公理 1(交换律)α+β=β+α.公理 2(结合律)(α+β)+γ=α+(β+γ).公理 3(有零元)α+θ=α.公理 4(有负元)α+(−α)=θ.(3) 数乘公理公理 5(结合律)λ(μα)=(λμ)α.公理 6(分配律)λ(α+β)=λα+λβ.公理 7(分配律)(λ+μ)α=λα+μα.公理 8(单位律)1α=α.(设\ \alpha,\beta,\gamma,\theta \in V,\lambda,\mu \in \mathbf{R}) \\ \begin{aligned} &(2)\ 加法公理 \\ &公理\ 1(交换律)\quad &\alpha+\beta&=\beta+\alpha. \\ &公理\ 2(结合律)\quad &(\alpha+\beta)+\gamma&=\alpha+(\beta+\gamma). \\ &公理\ 3(有零元)\quad &\alpha+\boldsymbol{\theta}&=\alpha. \\ &公理\ 4(有负元)\quad &\alpha+(-\alpha)&=\boldsymbol{\theta}. \\ \\ &(3)\ 数乘公理 \\ &公理\ 5(结合律)\quad &\lambda(\mu \alpha)&=(\lambda \mu)\alpha. \\ &公理\ 6(分配律)\quad &\lambda(\alpha+\beta)&=\lambda \alpha+\lambda \beta. \\ &公理\ 7(分配律)\quad &(\lambda+\mu)\alpha&=\lambda \alpha+\mu \alpha. \\ &公理\ 8(单位律)\quad &1\alpha&=\alpha. \end{aligned}

  • 线性空间：非空集合VV（不是数集！集合可以是任何元素）的加法和数乘封闭（类似向量空间的封闭），满足八条公理，称为数域KK的线性空间

  • 线性运算：满足八条公理的加法和数乘运算

  • 实/复线性空间：数域KK是实数域RR则VV为实线性空间，数域KK是复数域CC则VV为实线性空间

  • 狭义向量：有序数组

  • 广义向量：线性空间的元素

  • 矩阵空间：所有m×n的矩阵和上一章的加法数乘计算构成矩阵空间MmnM_{mn}

  • 线性空间的子空间：SS是非空集合VV的非空子集，如果对于VV定义的加法数乘SS仍然成立并构成一个线性空间，称SS为VV的子空间

  • 线性空间VV的非空子集SS是VV的子空间的充要条件是SS加法数乘满足封闭性

  • 生成的子空间：线性空间VV的非空子集SS使用以下公式计算出的集合L(S)L(S)，为VV的子空间，L(S)L(S)称为SS生成的子空间

    L(S)={α=∑i=1kλiαi∣α1,α2,…,αk∈S, λ1,λ2,…,λk∈R}L(S) = \left\{ \alpha = \sum_{i=1}^{k} \lambda_i \alpha_i \mid \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_k \in S,\ \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_k \in \mathbf{R} \right\}

  • 线性空间的交：V1∩V2={α∣α∈V1,α∈V2}V_1 \cap V_2 = \{ \boldsymbol{\alpha} \mid \boldsymbol{\alpha} \in V_1 , \boldsymbol{\alpha} \in V_2 \}

  • 线性空间的和：V1+V2={α1+α2∣α1∈V1, α2∈V2}V_1 + V_2 = \{ \boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 \mid \boldsymbol{\alpha}_1 \in V_1,\ \boldsymbol{\alpha}_2 \in V_2 \}

  • 线性相/无关：类似之前的定义，但是0换成零元素。对于n维向量组，如果不存在满足以下式子的系数，则线性无关；若存在，则线性相关。

λ1α1+λ2α2+⋯+λmαm=θ,(λi不全为0，θ为零元素)\lambda_1\boldsymbol{\alpha}_1 + \lambda_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + \lambda_m\boldsymbol{\alpha}_m = \boldsymbol{\theta},(\lambda_i不全为0，\theta为零元素)

内积/欧几里得空间/欧氏空间：线性空间VV的任意两个元素α,β\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}一起对应一个唯一的实数(α,β)(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})，满足以下公理，VV称为欧几里得空间/欧氏空间，(α,β)(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})为内积

公理1（对称性）： (α,β)=(β,α)公理2（可加性）： (α+β,γ)=(α,γ)+(β,γ), ∀γ∈V公理3（齐次性）： (λα,β)=λ(α,β), λ∈R公理4（非负性）： (αα)≥0, 当且仅当 α=θ 时，(α,α)=0\begin{aligned} &\text{公理1（对称性）：} \ (\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}) = (\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\alpha}) \\ &\text{公理2（可加性）：} \ (\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}) = (\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\gamma}) + (\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}),\ \forall \boldsymbol{\gamma} \in V \\ &\text{公理3（齐次性）：} \ (\lambda\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}) = \lambda(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}),\ \lambda \in \mathbb{R} \\ &\text{公理4（非负性）：} \ (\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}) \geq 0,\ \text{当且仅当 } \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\theta} \text{ 时，} (\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\alpha}) = 0 \\ \end{aligned}

性质

  • 复数集CC、实数集RR、有理数集QQ是数域，整数集ZZ不是数域

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