名词解析

n维[列]向量：由n个数字有序排列形成有序数组\alpha = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}其中a_i为向量的[第i个]分量。向量为特殊的矩阵，列向量为列矩阵
n维行向量：同上，由单列排列改为单行
实/复向量：全部为实数则为实向量，含有复数则为复向量
零向量：各个分量为0的向量，为零向量，记作\mathbf0=(0,0,\cdots,0)^T
负向量：同负矩阵-\boldsymbol{\alpha} = (-a_1,\ -a_2,\ \dots,\ -a_n)^T
线性组合：任意实数有b=k_1a_1+k_2a_2+ \cdots + k_ma_m，则b为a_i的线性组合
n维单位向量：指定某位元为1，其他元为0\boldsymbol{e}_i = (0,\ 0,\ \dots,\ 1,\ \dots,\ 0)^T

单位向量：长度\| \alpha \|=1的向量
向量组：由多个同维向量组成的集合
向量组线性运算：\lambda_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + \lambda_2 \boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + \lambda_m \boldsymbol{\alpha}_m
向量组线性组合/线性表示：满足以下等式，称α是向量组的线性组合，α能由向量组线性表示
\boldsymbol{\alpha}=\lambda_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + \lambda_2 \boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + \lambda_m \boldsymbol{\alpha}_m
线性表示系数：指上式的λ组合
单位坐标向量组：由n个n维单位向量组成，每个向量互不相同

\boldsymbol{e}_1 = (1,\ 0,\ \dots,\ 0,\ \dots,\ 0)^T \\ \boldsymbol{e}_2 = (0,\ 1,\ \dots,\ 0,\ \dots,\ 0)^T \\ \cdots \\ \boldsymbol{e}_i = (0,\ 0,\ \dots,\ 1,\ \dots,\ 0)^T \\ \cdots \\ \boldsymbol{e}_n = (0,\ 0,\ \dots,\ 0,\ \dots,\ 1)^T \\

线性相/无关：对于n维向量组，如果不存在满足以下式子的系数，则线性无关；若存在，则线性相关。

\lambda_1\boldsymbol{\alpha}_1 + \lambda_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + \lambda_m\boldsymbol{\alpha}_m = \boldsymbol{0},(\lambda_i不全为0)

向量组矩阵：按照排列顺序将各元依次排列为矩阵，称为矩阵的行/列向量组

\begin{aligned} \boldsymbol{\alpha}_j =& (a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{mj})^T\ (j=1,2,\dots,n) \\ A =& (\boldsymbol{\alpha}_1\ \boldsymbol{\alpha}_2\ \dots\ \boldsymbol{\alpha}_n) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} \\\\ \boldsymbol{\beta}_i =& (b_{i1}, b_{i2}, \dots, b_{in}) \space (i=1,2,\dots,n) \\ B =& \begin{pmatrix} \boldsymbol{\beta}_1 \\ \boldsymbol{\beta}_2 \\ \vdots \\ \boldsymbol{\beta}_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \dots & b_{mn} \end{pmatrix} \end{aligned}

向量组等价：向量组A、B互相能由对方线性表示（但A、B的向量个数不一定相等）
最大线性无关组：向量组T部分向量组成的线性无关向量组(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{r})能线性表示T中所有向量，则该子向量组为T的最大线性无关组（最大线性无关组不一定唯一）
向量组的秩：向量组的最大线性无关组的向量个数
行/列秩：行/列向量的秩

向量运算

线性运算

加减法、数乘：为向量的线性运算，与矩阵相同

\boldsymbol{\alpha} ± \boldsymbol{\beta} = (a_1 ± b_1,\ a_2 ± b_2,\ \dots,\ a_n ± b_n)^T \\ \lambda\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\alpha}\lambda = (\lambda a_1,\ \lambda a_2,\ \dots,\ \lambda a_n)^T \\

规律

交换律：\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\alpha}
结合律：(\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}) + \boldsymbol{\gamma} = \boldsymbol{\alpha} + (\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\gamma})
零向量性质：

\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{\alpha} \\ \boldsymbol0 \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol0

负向量性质：\boldsymbol{\alpha} + (-\boldsymbol{\alpha}) = \boldsymbol{0}
数1的数乘：1 \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\alpha}
结合律：\lambda (\mu \boldsymbol{\alpha}) = (\lambda \mu) \boldsymbol{\alpha}
分配律：

(\lambda + \mu) \boldsymbol{\alpha} = \lambda \boldsymbol{\alpha} + \mu \boldsymbol{\alpha} \\ \lambda (\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}) = \lambda \boldsymbol{\alpha} + \lambda \boldsymbol{\beta}

内积

计算方法

（\alpha ，\beta）={\alpha}^T\beta={\beta}^T\alpha \\ =a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n

性质

此处需要结合定义理解

对称性：(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}) = (\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\alpha})
齐次性：(\lambda \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}) = \lambda (\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})
可加性：(\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}) = (\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\gamma}) + (\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma})
非负性：(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\alpha})\geq 0 ，当且仅当\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}时(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\alpha}) = 0

长度

计算方法：\| \alpha \| = \sqrt{\alpha \cdot \alpha} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \alpha_i^2} =\sqrt {a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}

性质：

非负性：\|\boldsymbol{\alpha}\| \geq 0；，当且仅当\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}时\|\boldsymbol{\alpha}\| = 0
齐次性：\|\lambda \boldsymbol{\alpha}\| = |\lambda| \cdot \|\boldsymbol{\alpha}\|
向量三角不等式：\|\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}\| \leq \|\boldsymbol{\alpha}\| + \|\boldsymbol{\beta}\|
柯西不等式：(\alpha，\beta)^2 \le (\alpha，\alpha)(\beta，\beta)
夹角：cos \theta = \frac {(\alpha，\beta)} {\| \alpha \|\| \beta \|}

线性相关与线性无关

任意n维向量可由n为单位坐标向量组线性表示，且线性表示的系数为该向量的分量a_i

\begin{aligned} \boldsymbol{\alpha} &= (a_1, a_2, \dots, a_n)^T \\ &= a_1\boldsymbol{e}_1 + a_2\boldsymbol{e}_2 + \dots + a_n\boldsymbol{e}_n \end{aligned}

两个向量的向量组，线性相关的充要条件为平行或者共线；三个向量的充要条件是共面
线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可以由其余向量表示
如果向量组\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n线性无关，增加一个向量\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n,\boldsymbol{\beta}线性相关，则\boldsymbol{\beta}可由其他向量表示，且表示方法唯一
如果向量组\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n线性相关，增加多个向量\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n,\boldsymbol{\alpha}_{n+1},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_m仍然线性相关
如果向量组\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n，\boldsymbol{\alpha}_i = \begin{pmatrix} a_{1i} \\ a_{2i} \\ \vdots \\ a_{mi} \end{pmatrix}线性无关，每个向量增加一个维度\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_n，\boldsymbol{\beta}_i = \begin{pmatrix} a_{1i} \\ a_{2i} \\ \vdots \\ a_{mi} \\ a_{(m+1)i} \end{pmatrix}仍然线性无关
任意n+1个n维向量组一定线性相关（对应线性方程中未知数多余方程个数）
由上条推出任意多于n个的n维向量组一定线性相关

最大线性无关组

如果向量组A能由向量组B线性表示，且向量组A线性无关，则向量组A的向量个数不多于向量组B

A=(\alpha_1, \dots, \alpha_r) \\ B=(\beta_1, \dots, \beta_s) \\ r\le s

如果向量A可用向量B线性表示，且A含有的向量个数多于B，则A线性相关（上一条反向）
等价的线性无关向量组的向量个数相等，等价的向量组的秩相同
向量组线性无关的充要条件就是最大线性无关组为本身或者向量组的秩与向量个数相等
向量组的所有线性无关组等价且向量个数相等
如果向量组A能由向量组B线性表示，则A的秩小于B的秩r_A \le r_B（向量组A不一定线性无关）
只做行变换，矩阵A转换为B，则A的行向量与B的行向量等价，A、B对应列的线性相关性（线性相关或线性无关）相同
同上，只做列变换，矩阵A转换为B，则A的列向量与B的列向量等价，A、B对应行的线性相关性（线性相关或线性无关）相同
矩阵的秩等于其行秩等于其列秩
若n阶方阵的秩R(A)=n，则行向量和列向量均线性无关

线代笔记第三章上：向量组的线性相关性及线性空间