名词解析

以下说法等价：非奇异矩阵⇔满秩矩阵⇔可逆矩阵⇔标准型为E⇔可表示为有限个初等方阵的乘积

分块矩阵：通过横竖线将矩阵划分为多个区块，每个区块形成的小矩阵：

\begin{aligned} A=& \begin{pmatrix} \begin{array}{ccc|c} \textcolor{red}{a_{11}} & \textcolor{red}{a_{12}} & \textcolor{red}{a_{13}} & \textcolor{green}{a_{14}} \\ \textcolor{red}{a_{21}} & \textcolor{red}{a_{22}} & \textcolor{red}{a_{23}} & \textcolor{green}{a_{24}} \\ \hline \textcolor{yellow}{a_{31}} & \textcolor{yellow}{a_{32}} & \textcolor{yellow}{a_{33}} & a_{34} \\ \end{array} \end{pmatrix} \\ =& \begin{pmatrix} \textcolor{red}{A_{11}} & \textcolor{green}{A_{12}} \\ \textcolor{yellow}{A_{21}} & A_{22} \end{pmatrix} \end{aligned}

分块对角矩阵：同对角矩阵，但所有的A_k均为方阵

A= \begin{pmatrix} A_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & A_n \\ \end{pmatrix}

分块反对角矩阵：同反对角矩阵和分块对角矩阵
k阶子式：矩阵中选取k行k列交叉的值组合为一个k阶行列式
- 注意，选取的k行k列不一定相邻
- 注意，k \le min\begin{bmatrix} m,n \end{bmatrix},共有C_m^kC_n^k个k阶子式

例如选取7阶行列式的1、4、7行和列 \\ \begin{pmatrix} \begin{array}{c|cc|c|cc|c} \textcolor{red}{a_{11}} & \textcolor{green}{a_{12}} & \textcolor{green}{a_{13}} & \textcolor{red}{a_{14}} & \textcolor{green}{a_{15}} & \textcolor{green}{a_{16}} & \textcolor{red}{a_{17}} \\ \hline \textcolor{green}{a_{21}} & a_{22} & a_{23} & \textcolor{green}{a_{24}} & a_{25} & a_{26} & \textcolor{green}{a_{27}} \\ \textcolor{green}{a_{31}} & a_{32} & a_{33} & \textcolor{green}{a_{34}} & a_{35} & a_{36} & \textcolor{green}{a_{37}} \\ \hline \textcolor{red}{a_{41}} & \textcolor{green}{a_{42}} & \textcolor{green}{a_{43}} & \textcolor{red}{a_{44}} & \textcolor{green}{a_{45}} & \textcolor{green}{a_{46}} & \textcolor{red}{a_{47}} \\ \hline \textcolor{green}{a_{51}} & a_{52} & a_{53} & \textcolor{green}{a_{54}} & a_{55} & a_{56} & \textcolor{green}{a_{57}} \\ \textcolor{green}{a_{61}} & a_{62} & a_{63} & \textcolor{green}{a_{64}} & a_{65} & a_{66} & \textcolor{green}{a_{67}} \\ \hline \textcolor{red}{a_{71}} & \textcolor{green}{a_{72}} & \textcolor{green}{a_{73}} & \textcolor{red}{a_{74}} & \textcolor{green}{a_{75}} & \textcolor{green}{a_{76}} & \textcolor{red}{a_{77}} \end{array} \end{pmatrix} \\组成的行列式：\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{14} & a_{17} \\ a_{41} & a_{44} & a_{47} \\ a_{71} & a_{74} & a_{77} \end{vmatrix}

最高阶非零子式：即行列式不等于0的k阶子式的最大值r；阶数大于r的所有子式子都为零，而有r阶非零子式，记为R(A)=r
满秩/降秩矩阵：矩阵A为n阶方阵，R(A)=n为满秩矩阵，R(A)\le n为降秩矩阵

初等[行/列]变换：与矩阵类似，做以下三种变换
- 对调两行/列，记作r_i \leftrightarrow r_j或c_i \leftrightarrow c_j
- 某行/列所有元全部乘一个系数k，记作r_i×k或c_i×k
- 某行/列所有元乘以一个系数k加到另外一行/列，记作r_i+kr_j或c_i+kc_j
等价：两个矩阵可互相通过初等变换转为另一个矩阵，记作A\sim B
行阶梯形矩阵/阶梯形：①全为0的行排在下面②以任意非零行从左往右首个非零元为原点，左下方均为零，例如：

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 0 & 3 \\ \color{blue}0 & \color{red}-3 & 2 & 4 & 0 \\ \color{blue}0 & \color{blue}0 & 0 & 0 & 5 \\ \color{blue}0 & \color{blue}0 & \color{green}0 & \color{green}0 & \color{green}0 \end{pmatrix}

行最简形矩阵：行阶梯形矩阵中，非零行从左往右首个非零元均为0，且该元所在列其他元素均为0（即正上方也为0），例如上一个式子的：

A = \begin{pmatrix} 1 & \color{blue}0 & \frac{16}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ \color{blue}0 & \color{red}1 & -\frac{2}{3} & -\frac{4}{3} & 0 \\ \color{blue}0 & \color{blue}0 & 0 & 0 & 1 \\ \color{blue}0 & \color{blue}0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

标准型：先确定原矩阵A的秩R(A)=r，结果为A的同型矩阵，左上角为E_{r×r}其他元用0取代，如

\begin{pmatrix} E_{r×r} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

初等方阵：单位矩阵E通过一次初等变换得到的方阵
逆矩阵：若矩阵A可逆，则能找到逆矩阵A^{-1}，满足AA^{-1}=A^{-1}A=E
伴随矩阵：原矩阵A的所有代数余子式按转置排列的矩阵，记作A^*，例如

A=(a_{ij})_{m×n} \\ A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} \\ A^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix}

正交矩阵：方阵A若有A^T满足A^TA=AA^T=E，则为正交矩阵（正交矩阵一定是方阵）

分块矩阵

性质

分块矩阵满足普通矩阵运算：

加法（必须整体同型且各个分块同型）

\begin{aligned} A=& \begin{pmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ A_{s1} & \cdots & A_{sr} \end{pmatrix} \\ B=& \begin{pmatrix} B_{11} & \cdots & B_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ B_{s1} & \cdots & B_{sr} \end{pmatrix} \\ A±B=& \begin{pmatrix} A_{11}±B_{11} & \cdots & A{1r}±B_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ A_{s1}±B_{s1} & \cdots & A_{sr}±B_{sr} \end{pmatrix} \end{aligned}

数乘

λA= \begin{pmatrix} λA_{11} & \cdots & λA_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ λA_{s1} & \cdots & λA_{sr} \end{pmatrix} \\

乘法（A_{ik}的列数要与B_{kj}的行数一致）

\begin{aligned} C_{ij}&=\sum\limits_{k=1}^s A_{ik}B_{kj} \\ &=A_{i1}B_{k1}+A_{i2}B_{2j}+\cdots+A_{is}B_{sj} \\例&如:\\ AB&= \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \\ B_{31} & B_{32} \end{pmatrix} = \end{aligned} \\ \begin{pmatrix} A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}+A_{13}B_{31} & A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}+A_{13}B_{32}\\ A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21}+A_{23}B_{31} & A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}+A_{23}B_{32} \\ \end{pmatrix}

分块对角矩阵的方阵有：\begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A_{1} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} A_{2} \end{vmatrix} \cdots \begin{vmatrix} A_{n} \end{vmatrix}

分块反对角矩阵有：\begin{vmatrix} A \end{vmatrix} =± \begin{vmatrix} A_{1} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} A_{2} \end{vmatrix} \cdots \begin{vmatrix} A_{n} \end{vmatrix} ，正负号计算转换到分块对角矩阵的方阵的步骤数。

矩阵的秩

R(A^T)=R(A)
A为奇异矩阵=\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}满秩，A为非奇异矩阵=\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}降秩
满秩矩阵可化成有限个初等矩阵的乘积（即可从单位矩阵做行/列变换得到）

矩阵等价

性质

可与平行线类比
- 反身性：矩阵A与它本身等价
- 对称性：A与B等价，则B与A等价（互相等价）
- 传递性：A与B等价，B与C等价，则A与C等价
相互等价的A、B有R(A)=R(B)

初等方阵

类型

对调E的两行/列

E(i,j) = \begin{pmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & 0 & \cdots & 1 & \\ & & & \vdots & \ddots & \vdots & \\ & & & 1 & \cdots & 0 & \\ & & & & & & \ddots \\ & & & & & & & 1 \end{pmatrix} \begin{matrix} \\ \\ \longleftarrow \text{第}i\text{行} \\ \\ \longleftarrow \text{第}j\text{行} \\ \\ \end{matrix}

某行乘系数k

E(i(k)) = \begin{pmatrix} 1 \\ & \ddots \\ & & 1 \\ & & & k & & \\ & & & & 1 & \\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & 1 \end{pmatrix} \begin{matrix} \\ \\ \longleftarrow \text{第}i\text{行} \\ \\ \\ \\ \end{matrix}

某行乘系数加到另一行

E(j(k),i) = \begin{pmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & 1 & \cdots & k & \\ & & & & \ddots & \vdots & \\ & & & & & 1 & \\ & & & & & & \ddots \\ & & & & & & & 1 \end{pmatrix} \begin{matrix} \\ \\ \longleftarrow \text{第}i\text{行} \\ \\ \longleftarrow \text{第}j\text{行} \\ \\ \end{matrix}

由于E的对称性，行变换和列变换得到的结果是一样的，所以不需要区分行/列

性质

用初等方阵与矩阵A相乘相当于对A进行初等变换（E左行右列）：

行变换

E_xA形式

E(i,j)A为对调第i、j行
E(i(k))A为第i行乘一个系数
E(j(k),i)A为第j行乘系数k加到i行

列变换

AE_x形式

AE(i,j)为对调第i、j列
AE(i(k))为第i列乘一个系数
AE(j(k),i)为第j列乘系数k加到i列

对A=(a_{ij})_{m×n}做初等变换，行变换为左乘一个m阶初等方阵，列变换为右乘一个n阶初等方阵

逆矩阵

性质

判断可逆的充要条件为\begin{vmatrix} A \end{vmatrix} ≠0

若A可逆，则A的逆矩阵唯一

若A可逆，则λA可逆且(λA)^{-1}=\frac 1 λ A^{-1}

若A、B为同阶可逆方阵，则AB可逆且(AA)^{-1}=B^{-1}A^{-1}

若A可逆，则A^T可逆，且(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T

初等方阵可逆，且逆矩阵为同类矩阵（可看作逆矩阵为反向初等变换的初等矩阵）

伴随矩阵重要公式：

AA^*=A^*= \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} E

若A可逆，则上条可推出

\begin{aligned} A^{-1}=&\frac 1 {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} A^* \\ {\begin{vmatrix} A^{-1} \end{vmatrix}} =& {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}^{-1} \end{aligned}

求解逆矩阵

对可逆且满秩矩阵A求逆矩阵A^{-1}，先生成一个新矩阵\begin{pmatrix} A & E \end{pmatrix}，之后进行初等行变换把左侧变成单位矩阵，得到\begin{pmatrix} E & A^{-1} \end{pmatrix}

对其他矩阵，只能通过求伴随矩阵，再通过逆矩阵的关系求解

正交矩阵

正交矩阵A有\begin{vmatrix} A \end{vmatrix} =±1

克拉默法则解

解线性方程组：

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2, \\ \qquad \dots \dots \dots \dots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \dots + a_{nn}x_n = b_n. \end{cases}

转换为矩阵

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}

分别赋值AX=B：

\begin{aligned} A &= (a_{ij})_{n \times n} \\ &= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix} \\ \quad X &= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} \end{aligned}

克拉默法则：如果\begin{vmatrix} A \end{vmatrix} ≠0方程组为唯一解，且解为

X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = A^{-1}B

等价于行列式中的形式（D=|A|）：

x_1 = \frac{D_1}{|A|}, \quad x_2 = \frac{D_2}{|A|}, \quad \dots, \quad x_n = \frac{D_n}{|A|}

特殊情况：如B=0且\begin{vmatrix} A \end{vmatrix} ≠0，则AX=0只有0解，即X=\mathbf{0}

线代笔记第二章下：矩阵