名词解析

行列式：用于求解变量和方程式相等的符号（DET）
全排列/排列：把n个不同元素排成一列，用P_n表示不同全排列顺序的数量，P_n=n!
逆序：规定一个标准顺序（自然数一般从小到大），任意两个元素的先后顺序与标准顺序不同，称为一个逆序
逆序数：一个排列中逆序的数量
奇排列/偶排列：以逆序数的奇偶划分
对换：排列中任意两个元素对换
主对角线：从左上到右下的对角线元素：a_{11} a_{22} \dots a_{nn}
反对角线：从右上到左下的对角线元素：a_{n1} a_{(n-1)2} \dots a_{1n}
以下为特殊行列式：
- 对角行列式：除了主对角其他元素为0
- 反对角行列式：除了反对角其他元素为0
- 上三角：主对角线以下的元素为0
- 下三角：主对角线以上的元素为0
转置行列式D^T：行列对调，如三阶行列式
\begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \\ D^T &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \\ \end{vmatrix} \end{aligned}
行/列变换：互换行列式的两行或两列
余子式和代数余子式：在行列式中将某一元素a_ij所在的行和列的元素删去，余下元素组成的行列式为余子式；余子式乘(-1)^i+j为代数余子式：

\begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} a_{11} & \textcolor{red}{a_{12}} & a_{13} & a_{14}\\ \textcolor{red}{a_{21}} & \textcolor{red}{a_{22}} & \textcolor{red}{a_{23}} & \textcolor{red}{a_{24}}\\ a_{31} & \textcolor{red}{a_{32}} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & \textcolor{red}{a_{42}} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \\ M_{22}& = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{14} \\ a_{31} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix} \\ A_{22}&=(-1)^{2+2}M_{22} \end{aligned}

对换定理

对换改变排列奇偶性
标准排列逆序数为0，奇排列对换为标准排列为奇数次，偶排列为偶数

排列和行列式

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = \sum\limits_{p_1 p_2 p_3} (-1)^t a_{_1,p_1} a_{_2,p_2} a_{_3,p_3}

其中p₁、p₂、p₃是1,2,3的排列，t为这种排列的逆序数，此处为按行排列，按列排列同理

可看作从行列式中选取3个不同行不同列的元素，按照行为1,2,3排列，例如a_{12}a_{21}a_{33}，逆序数t=1

线性方程和行列式

\left\{ \begin{array}{rrr} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}=b_2 \\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}=b_3 \end{array} \right.

转换为行列式：

\begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} \\ D_1 &= \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} & a_{13} \\ b_2 & a_{22} & a_{23} \\ b_3 & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} \\ x_1&=\frac {D_1} D \\ D_2 &= \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 & a_{13} \\ a_{21} & b_2 & a_{23} \\ a_{31} & b_3 & a_{33} \\ \end{vmatrix} \\ x_2&=\frac {D_2} D \\ D_3 &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & b_3 \\ \end{vmatrix} \\ x_3&=\frac {D_3} D \end{aligned}

特殊行列式计算

上/下三角行列式/对角行列式：D = a_{11} a_{22} \dots a_{nn}
反上/反下三角行列式/反对角行列式D = (-1)^{\frac {n(n-1)} 2}a_{n1} a_{(n-1)2} \dots a_{1n}，其中的指数为排列的逆序数

行/列变换性质

转置行列式与原行列式相等：D^T=D
行/列变换，行列式的值改变正负号
若某行/列元素全为零，则行列式值为0
若两行/列元素对应相等或成比例，则行列式值为0
若某行/列每个元素都乘一个系数，则行列式值乘该系数：
\begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \\ D'& = \begin{vmatrix} ka_{11} & a_{12} & a_{13} \\ ka_{21} & a_{22} & a_{23} \\ ka_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} =kD \space \end{aligned}
上条定理可反着用，某行/列可提出公因式，即：D' = \begin{vmatrix} ka_{11} & a_{12} & a_{13} \\ ka_{21} & a_{22} & a_{23} \\ ka_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} =kD \space
将某行乘一个系数加到另外一行，行列式值不变：
\begin{aligned} D =& \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \\ =& \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}+ka_{13} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22}+ka_{23} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32}+ka_{33} & a_{33} \end{vmatrix} \end{aligned}

注：可通过以上变换方式将任意行列式转换为三角行列式便于计算

展开

某个元素a_ij所在行或列的其他元素为0，则有D=a_ijA_ij：

\begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} a_{11} & \textcolor{red}{0} & a_{13} & a_{14}\\ \textcolor{red}{a_{21}} & \textcolor{red}{a_{22}} & \textcolor{red}{a_{23}} & \textcolor{red}{a_{24}}\\ a_{31} & \textcolor{red}{0} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & \textcolor{red}{0} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \\ &=a_{22} A_{22} \\ &=(-1)^{2+2}a_{22} M_{22} \\ &=a_{22} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{14} \\ a_{31} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix} \end{aligned}

行列式等于某行/某列的所有的元素乘以其代数余子式的总和：

D = \sum\limits^n_{k=1}a_{ik}A_{ik} D=\sum\limits^n_{k=1}a_{ki}A_{ki} \\ 例如： \\ \begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ \textcolor{red}{a_{21}} & \textcolor{red}{a_{22}} & \textcolor{red}{a_{23}} & \textcolor{red}{a_{24}}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \\ &=a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}+a_{23}A_{23}+a_{24}A_{24} \end{aligned}

某行/列的元素乘其他行对应元素的代数余子式的总和为0，即i≠j时（反直觉）
\sum\limits^n_{k=1}a_{ik}A_{jk}=\sum\limits^n_{k=1}a_{ki}A_{kj}=0 \\例如4阶行列式\\ a_{11}A_{41}+a_{12}A_{42}+a_{13}A_{43}+a_{14}A_{44}=0

对于行列式A、B、C，排列成\begin{vmatrix} A & C \\ 0 & B \end{vmatrix}或者\begin{vmatrix} A & 0 \\ C & B \end{vmatrix}，值为\begin{vmatrix} A \end{vmatrix} \begin{vmatrix} B \end{vmatrix}（A、B阶数可不相等）：

\begin{aligned} D=& \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1k} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & \cdots & a_{kk} & 0 & \cdots & 0 \\ c_{11} & \cdots & c_{1k} & b_{11} & \cdots & b_{1r} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{r1} & \cdots & c_{rk} & b_{r1} & \cdots & b_{rr} \end{vmatrix} \\ =& \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1k} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & \cdots & a_{kk} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ b_{r1} & \cdots & b_{rr} \end{vmatrix} \end{aligned}

线代笔记第一章：行列式