理想气体动理论

理想气体模型：分子视为质点（分子自身线度远小于分子间距），除碰撞外忽略分子间作用力；碰撞为完全弹性碰撞，忽略重力。

宏观状态参量：压强 p、体积 V、温度 T。

各向同性

\overline{v_x}=\overline{v_y}=\overline{v_z}=0

\overline{v^2_x}=\overline{v^2_y}=\overline{v^2_z}=\frac 1 3 \overline{v^2}

压强与温度

设分子质量为 m_0，分子数密度为 n=N/V。

平均平动动能：

\overline{E_t}=\frac 1 2m_0\overline{v^2}

p=\frac 1 3 n m_0 \overline{v^2}=\frac 2 3 n \overline{E_t}

由 p=nkT 得

\overline{E_t}=\frac 3 2 kT

方均根速率：

\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac {3kT} {m_0}} = \sqrt{\frac {3RT} M}=\sqrt{\frac {3p} \rho}

其中 M 为摩尔质量，\rho 为气体质量密度。

理想气体状态方程：

pV=\nu RT=\frac m M RT

其中 \nu=m/M 为物质的量。

能量均分定理

常温下（忽略振动自由度）：单原子分子 i=3；刚性双原子或线形多原子分子 i=5；非线形多原子分子 i=6。

每个二次型自由度的平均能量为 \frac 12kT，故单个分子的平均能量为

\overline{E}=\frac i 2 kT

一定量理想气体的内能为

U=N\overline{E}=\frac i 2 NkT=\frac i 2 \nu RT=\frac i 2 pV

内能只与温度有关：

\Delta U=\frac i2\nu R\Delta T

速率分布

速率分布函数：

f(v)=\frac1N\frac{dN}{dv}

因此

dN=Nf(v)dv

\frac{\Delta N}{N}=\int_{v_1}^{v_2}f(v)dv

\int_0^\infty f(v)dv=1

任意速率函数 g(v) 的平均值为

\overline{g(v)}=\int_0^\infty g(v)f(v)dv

三种统计速率：

最概然速率 v_p：f(v) 最大处的速率。
平均速率：\overline v=\int_0^\infty vf(v)dv。
方均根速率：v_{\rm rms}=\sqrt{\overline{v^2}}。

麦克斯韦速率分布

平衡态理想气体满足

f(v)=4\pi\left(\frac{m_0}{2\pi kT}\right)^{3/2}v^2e^{-\frac{m_0v^2}{2kT}}

对应的三种统计速率为

v_p=\sqrt{\frac{2kT}{m_0}}=\sqrt{\frac{2RT}{M}}

\overline v=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m_0}}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}

v_{\rm rms}=\sqrt{\frac{3kT}{m_0}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}

大小关系：

v_p<\overline v<v_{\rm rms}

温度升高或摩尔质量减小时，分布峰向高速方向移动，曲线变宽、变低；曲线下面积始终为 1。

玻耳兹曼分布

平衡态下，粒子处于能量为 E 的状态的概率正比于

e^{-E/(kT)}

能量越高，粒子数越少。在恒温重力场中：

n=n_0e^{-\frac{Mgh}{RT}},\qquad p=p_0e^{-\frac{Mgh}{RT}}

分子的碰撞

平均碰撞频率

\bar Z =\frac {nV} {\triangle t} = n \pi d^2 \bar{u}

由麦克斯韦速率分布知: \bar{u} = \sqrt 2 \bar{v}

\bar Z =\sqrt 2 n \pi d^2 \bar{v}

平均自由程

\bar{\lambda} = \frac {\bar{v}} {\bar{Z}} = \frac 1 {\sqrt{2} \pi d^2 n} = \frac {kT} {\sqrt 2 \pi d^2 p}

真空度量

总结

统计概率思想计算

大学物理下第十二章：气体动理论